#1 Non ho capito come varia la stabilità interconnettendo due sistemi in parallelo o in cascata; in particolar modo non ho capito perché la connesione in parallelo di due sistemi dinamici lineari e stazionari semplicemente stabili dia un sistema ancora semplicemente stabile, mentre ciò risulta non vero per sistemi connessi in cascata. (Mirko Tedaldi)

Le considerazioni sulla stabilità di due sistemi collegati in parallelo possono venire dedotte in maniera molto semplice considerando, come abbiamo fatto a lezione, la struttura della matrice dinamica del parallelo che risulta diagonale a blocchi con le singole matrici dinamiche dei due sistemi come blocchi. L'insieme di conseguenze algebriche sugli autovalori, sul polinomio caratteristico e su quello minimo seguono in maniera immediata considerando, ad esempio, tali matrici in forma di Jordan (anche la matrice totale risulta in tale forma) e ricordando i legami tra forma di Jordan e molteplicità degli autovalori come zeri del polinomio minimo. La stessa via può venire seguita per sistemi collegati in cascata osservando che in tale caso la matrice dinamica della interconnessione è triangolare a blocchi e che può pertanto variare la dimensione dei blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore (se presente nelle matrici dinamiche di entrambi i sistemi). Si ponga tuttavia attenzione al fatto che questa è solo una possibilità (la sua domanda sembra infatti implicare che due sistemi semplicemente stabili collegati in cascata diano sempre luogo ad un sistema instabile).

#2 Non mi sono chiari alcuni aspetti relativi alle tabelle di compatiblità e di implicazione sui diversi tipi di stabilità per i sistemi dinamici lineari e stazionari ed i legami tra stabilità semplice e asintotica. (Mirko Tedaldi)

La chiave di interpretazione dei legami tra i diversi tipi di stabilità è la scomposizione canonica di Kalman ricordando che la stabilità semplice e quella asintotica riguardano i modi presenti in tutti i blocchi, quella i.l.s.l. i modi della sola parte raggiungibile e la i.l.u.l. quelli della sola parte raggiungibile e osservabile. Definiamo poi, per evitare ogni equivoco, semplicemente stabile un sistema che presenti modi semplicemente stabili (e che non presenti, ovviamente, modi instabili); i modi di un sistema semplicemente stabile saranno quindi semplicemente stabili e asintoticamente stabili. In un sistema asintoticamente stabile tutti i modi dovranno invece essere asintoticamente stabili. Da tali definizioni è immediato dedurre implicazioni e compatibilità.

#3 Nella definizione di stabilità semplice, noi diciamo che per ogni epsilon > 0 esiste un eta > 0 tale che la norma della differenza tra moto di riferimento e moto perturbato, dx₁, risulti minore di epsilon se la perturbazione dello stato iniziale, dx₀, è, in norma, minore di eta. In altre parole, possiamo rendere la perturbazione sul moto piccola a piacere, in ogni istante, se scegliamo una perturbazione dello stato iniziale sufficientemente piccola.

stabilità  semplice  <=> lim ||dx1(t)||=0
                           ||dx0||->0

                                            
stabilità asintotica <=> lim ||dx1(t)||=0  e  lim ||dx1(t)||=0 ?
                  ||dx0||->0        t->oo

Domanda 2: Non sarebbe più corretto definire la stabilità semplice nel seguente modo: esistono epsilon, eta > 0 tali che risulti ||dx₁(t)|| minore di epsilon per t maggiore di t₀ per ogni dx₀ tale che ||dx₀|| sia minore di eta ovvero: se scegliamo una perturbazione dello stato iniziale sufficientemente piccola, allora la perturbazione sul moto rimane limitata?

Domanda 3: Con la definizione data a lezione non riesco a capire perché la stabilità semplice non implichi la stabilità asintotica, visto che, se ||dx₁(t)|| può essere resa piccola a piacere per t>t₀, in particolare potrà essere resa piccola a piacere per t->oo.

Domanda 4: Come mai nelle rappresentazioni grafiche prendiamo sempre epsilon > eta, visto che nella definizione non è specificato? (Lucia Strappa)

Le definizioni che lei propone nella Domanda 1 sono essenzialmente equivalenti a quelle usuali. La formulazione proposta nella Domanda 2, invece, non evidenzia l'arbitrarietà di epsilon e la dipendenza di eta da epsilon. La stabilità semplice poi (Domanda 3) non implica affatto quella asintotica perché in un moto asintoticamente stabile la perturbazione deve tendere a zero per t tendente all'infinito indipendentemente dalla perturbazione dello stato inziziale cioè anche in presenza di perturbazioni rilevanti dello stato iniziale (che risultino, ovviamente, all'interno del dominio di stabilità asintotica del moto stesso). Eta, infine, non può essere maggiore di epsilon perché, diversamente, la perturbazione del moto non risulterebbe, in norma, minore di epsilon per t=t₀.

#4 Se ho un sistema di Liapunov il cui stato, per t tendente all'infinito, tende allo stato zero ma non lo raggiunge mai, ho, per il sistema di partenza, stabilità semplice o asintotica? (Marcello Romani)

Non è chiaro a che sistema lei faccia riferimento (non abbiamo definito alcun sistema di Liapunov). Se sta facendo riferimento al Criterio di Liapunov ridotto ed alle condizioni di stabilità sul modello linearizzato, la stabilità asintotica di tale modello (che implica il tendere a zero, per t tendente all'infinito, del moto generato da qualunque stato iniziale diverso da zero) implica la stabilità dello stato di equilibrio del sistema studiato rispetto al quale è stata effettuata la linearizzazione.

#5 Non ho capito perché, nel definire la stabilità asintotica dello stato di un sistema di Liapunov, si specifica sempre che tale stato deve anche essere semplicemente stabile. In altre parole, la condizione necessaria affinché ci sia stabilità asintotica non implica automaticamente che sia verificata la condizione di stabilità semplice? (Marcello Romani)

Vale anche qui quanto osservato nella risposta precedente (sistema di Liapunov?) e mi sembra che nella sua domanda si mescolino concetti diversi (definizione di stabilità asintotica e Criterio di Liapunov). Mi sembra comunque che il nucleo della domanda sia questo: perché ci preoccupiamo di affermare la condizione relativa alla stabilità semplice quando definiamo la stabilità asintotica? Il motivo è abbastanza semplice: la sola condizione per t tendente all'infinito non fornisce alcuna informazione sul comportamento dello stato a partire dall'istante iniziale; la stabilità asintotica di un moto richiede invece, oltre ad un comportamento asintotico, anche che la differenza tra il moto perturbato e quello di riferimento rimanga limitata e possa venire resa piccola a piacere limitando opportunamente la perturbazione iniziale dello stato per qualunque istante di tempo.

#6 Quando a lezione ha trattato il criterio di instabilità di Liapunov devo aver trascritto male gli appunti. Purtroppo né sul testo di teoria, né sugli appunti integrativi sulla stabilità viene toccato l'argomento: dove posso procurarmi le informazioni che mi interessano? O ciò di cui sto parlando non è un teorema, ma una semplice osservazione fatta a lezione? (Alessandro Caselli, Wed Dec 29 21:36:33)

Può trovare il criterio di instabilità di Liapunov e quello, meno noto, di Cetaev su vari testi, ad esempio su Appunti di Teoria dei Sistemi di E. Fornasini e G. Marchesini, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 1988. L'argomento non è, comunque, incluso nel programma del corso e per questo motivo non ne ho inclusa alcuna descrizione negli Appunti integrativi.

#7 Purtroppo ho perso la lezione in cui ha trattato i criteri di Liapunov, ma ho comunque recuperato il materiale sul server. Ci sono però due cose che non mi sono chiare:

1) come si fa a passare da dx₁(t)=fi(t,t₀,x₀+dx₀,u(.))-x(t) a d/dt(dx₁(t))=f(x(t)+dx₁(t),u(t),t)-f(x(t),u(t),t), in particolare non ho capito il passaggio da fi con argomento x₀+dx₀ a f con argomento x(t)+dx₁(t). Stessi dubbi anche per la dy₁(t), ma credo che risolvendo quelli relativi alla dx₁(t) siano automaticamente risolti anche quelli relativi alla dy₁(t). (Rif. osservazione 4.3 degli appunti integrativi sulla stabilità scaricati dal server)

2) Sempre gli appunti poco oltre il punto precedente, recitano che "essendo f e g note e u(.) assegnato, si possono scrivere le relazioni precedenti nella forma d/dt(dx₁(t))=f₁(dx₁(t),t), dy₁(t)=g₁(dx₁(t),t). Nel- l'espressione di dy₁(t) non dovrebbe comparire anche la risposta di riferimento sottratta alla g₁? Io ho capito che la d/dt(dx₁(t)) si ricava derivando l'espressione della dx₁(t) e tenendo conto del fatto che la f₁ è soluzione della f: derivando il termine di riferimento, essendo caratterizzato da parametri fissati, si annulla e resta la quantità indicata. Nel caso della dy₁(t), però, non si deriva nulla e non riesco a capire perchè il termine di riferimento si sia ugualmente annullato... (Raffaele Landolfi, Mon 27 Dec 22:32:19 1999)

1) L'espressione d/dt(dx₁(t))=f(x(t)+dx₁(t),u(t),t)-f(x(t),u(t),t) da lei citata deriva, come chiaramente indicato negli appunti, dalle (21)-(22) cioè dall'uso di un modello differenziale che, come sappiamo, può sempre venire associato ad un modello costituito dalla funzione di transizione dello stato e dalla funzione di uscita sotto le condizioni descritte dal Teorema di esistenza e unicità (della soluzione di un'equazione differenziale). Riveda quindi non tanto la parte relativa alla stabilità quanto quella iniziale del corso, relativa ai possibili modelli per i sistemi dinamici.

2) La risposta di riferimento, in quanto nota, viene inserita nella struttura della g₁(t) (grazie alla dipendenza dal tempo di tale funzione).

#8 Negli Appunti integrativi sulla stabilità, dopo la condizione (7) è presente la seguente osservazione: Si noti come una stessa risposta possa corrispondere a più moti di riferimento. Visto il parallelo con la Definizione 1.1, si potrebbe anche osservare che una stessa traiettoria delle uscite può corrispondere a più risposte di riferimento? (Tue Jan 4 10:02:17 2000, Claudio Beltrani)

L'osservazione che lei propone è corretta. Come esempio di riferimento può considerare il caso, visto a lezione, della biglia inserita in una guida parabolica e soggetta alla forza peso e ad un ingresso in grado di bilanciare, parzialmente o totalmente, la forza peso.