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#1 Non ho capito perché è utile la matrice di covarianza nella realizzazione di sequenze di ingresso/uscita di un sistema dinamico lineare, stazionario e discreto. (Gabriele Tinti)

Operando sulla matrice di covarianza (campionaria) delle sequenze di ingresso/uscita si ottiene il vantaggio di effettuare operazioni algebriche su matrici simmetriche e di dimensione inferiore (qualora si mettano in gioco tutti i campioni disponibili) rispetto a quelle formate da sottomatrici di Hankel dei campioni di ingresso e di uscita. I legami di lineare dipendenza tra le colonne delle matrici di covarianza sono gli stessi presenti tra le colonne della matrice dei campioni di i/u. Si noti che il termine matrice di covarianza campionaria è corretto, per l'espressione che abbiamo utilizzato quando abbiamo trattato il problema della realizzazione, solo se le sequenze di ingresso e di uscita risultano a valor medio nullo.

#2 Non ho capito cosa abbiamo inteso scrivendo E[w(t)wT(t)] dove w(t) è un processo vettoriale bianco non misurabile che agisce sullo stato del sistema, e come operativamente si calcola E[w(t)wT(t)]. (Gabriele Tinti)

La notazione E[w(t)wT(t)] indica il valore atteso del prodotto di w(t) per il suo trasposto cioè, nell'ipotesi che E[w(t)]=0, il nucleo di covarianza del processo w(t). Tale matrice, necessaria per il progetto del filtro di Kalman, non può venire dedotta dalle sequenze di ingresso e di uscita (w(t) non è accessibile); è quindi necessario, per il progetto del filtro, ipotizzarne la conoscenza a priori. Spesso viene usata una stima anche molto approssimata di tale matrice di covarianza, affinandola poi in base allo scostamento tra la covarianza fornita dal filtro sulla stima dello stato e quella teorica, fornita dalla soluzione dell'equazione di Riccati.

#3 Mi può indicare qualche libro che tratti l'argomento dell'identificazione dei sistemi dinamici?

In genere non rispondo alle domande anonime; nel suo caso tuttavia ritengo si tratti solo di una dimenticanza. La letteratura sull'argomento è vasta e comprende opere di valore abbastanza differenziato. Due ottimi testi sono:

T. Söderstrom e P. Stoica, System Identification, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.
L. Ljung, System Identification: Theory for the User, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1987.
Un'altro testo molto valido è:
J.P. Norton, An Introduction to Identification, Academic Press, New York, 1986.

#4 Qual'è la differenza computazionale tra la realizzazione da campioni di ingresso e uscita per i sistemi puramente dinamici e per quelli non puramente dinamici? (Cristiano Carretti)

Nel caso di sistemi non puramente dinamici il modello che si ottiene include termini dell'ingresso che agiscono direttamente (nello stesso istante di tempo) sull'uscita; la matrice di Hankel dei campioni di ingresso avrà quindi, in questo caso, lo stesso numero di colonne di quella di uscita. Questo si traduce in un incremento nel numero minimo di campioni necessari per effettuare la realizzazione (si vedano le domande a pag. 7.21 e 7.22 del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti).

#5 Che differenza c' tra matrice di covarianza e matrice di varianza? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)

Matrice di varianza non un termine utilizzato; si parla infatti di varianza con riferimento a processi stocastici scalari e di matrice di covarianza per quelli vettoriali. Gli elementi sulla diagonale della matrice di covarianza di un processo vettoriale sono poi le varianze delle singole componenti del vettore.

 

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