#1 Nell'esercizio 6 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni, (modello matematico di un satellite) svolto durante le esercitazioni e sul libro ho notato che non sono state considerate la rivoluzione terrestre né gli effetti relativistici. Soprattutto m'interessa l'omissione della rivoluzione. (Daniele Cremonini)

L'esercizio 6 tratta il classico problema dei "due corpi"; la rotazione attorno al proprio asse del corpo (terra) attorno al quale il secondo (satellite) orbita non è stata introdotta perché non rilevante rispetto alle finalità dell'esercizio. Lo stesso può essere ripetuto per la correzione relativistica. Nelle applicazioni pratiche tali fattori devono venire introdotti; le prestazioni del sistema di navigazione satellitare GPS, ad esempio, risulterebbero decisamente inferiori se non si considerasse la correzione prevista dalla teoria della relatività.

#2 In riferimento all'esercizio 14 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni (Sistemi in cascata), ritengo che ci sia una incogruenza tra i dati e la soluzione, poiché il rapporto -1/RC che compare nella matrice B risulta uguale a -1 invece di -20. (Mirko Tedaldi)

L'incongruenza da lei rilevata è dovuta ad un errore nella Figura 14.1 ove viene indicato, per la capacità, un valore di 0.5 microfarad anziché di 10. Questo non è, peraltro, l'unico errore presente nel testo; l'Errata Corrige è stata inserita nella sezione Testi.

#3 Con riferimento all'esercizio 5 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni, cosa rappresenta il metacentro M e quali forze vi agiscono? In base a quale criterio è stato scelto il punto C rispetto al quale vengono calcolati i momenti? (Andrea Pierini e Matteo Piovaticci)

Il metacentro è il punto cui si può pensare applicata la risultante delle spinte di galleggiamento agenti sulla sezione considerata. Il punto C indica l'intersezione della sezione considerata con l'asse di rotazione (longitudinale) dello scafo.

#4 Con riferimento all'esercizio 16 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni, sostituendo il circuito di Fig. 16.2 in quello di Fig. 16.1, si ottiene un circuito diverso da quello di Fig. 16.3; quale semplificazione è stata fatta? In altre parole che semplificazione sta dietro la resistenza R₃ "circa" uguale a 1 kOhm? (Andrea Pierini e Matteo Piovaticci)

Il circuito equivalente di Figura 16.2 è un circuito alle variazioni; utilizzandolo per modellare l'amplificatore di Fig. 16.1, la resistenza del generatore si troverà in serie alla r_bb' del circuito equivalente mentre la resistenza di carico, R_c (1 kOhm), andrà in parallelo alla r_ce (200 kOhm). Nel circuito di Fig. 16.3 il valore esatto di tale parallelo (995.025 Ohm) è stato arrotondato a 1000 Ohm.

#5 Con riferimento all'esercizio 17 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni, non ci torna il circuito collegato al morsetto B: quale circuito equivalente è stato utilizzato per rappresentare l'uscita dell'amplificatore operazionale non ideale? Inoltre perché nel generatore di Fig. 17.2 c'è una corrente proporzionale al potenziale di b' e in quello di Fig. 17.3 c'è una corrente proporzionale alla tensione su r_b'e? (Andrea Pierini e Matteo Piovaticci)

Ricordiamo, innanzitutto, che il circuito equivalente del transistore è alle variazioni; la resistenza di uscita non nulla dell'amplificatore viene quindi inserita, nel circuito equivalente di Figura 17.3, in serie alla r_bb' ottenendo così per R₁ un valore di 120 Ohm (100+20). Il guadagno limitato, G, dell'amplificatore differenziale entra poi nel modello attraverso la tensione del generatore equivalente (pilotato dalla differenza di tensione presente tra l'ingresso non invertente e quello invertente). Nel circuito equivalente di Figura 17.2 le tensioni sono riferite all'emettitore trattandosi di un circuito ad emettitore comune; il generatore di corrente è quindi pilotato dalla tensione presente tra b' ed E. Nel circuito di figura 17.1, l'emettitore del transistore non si trova ad un potenziale costante rispetto a massa; il generatore di corrente nel circuito equivalente di Figura 17.3 deve quindi venire pilotato dalla tensione tra b' e l'emettitore del transistore che differisce da quella tra b' e massa.

#6 Con riferimento all'esercizio 5 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e applicazioni e alla FAQ 23, non riusciamo a capire nell'equazione di bilancio delle coppie il termine relativo alle spinte di galleggiamento: quanto valgono esattamente? Inoltre in tale equzione J non dovrebbe rappresentare il momento d'inerzia rispetto l'asse di rotazione anziché rispetto all'asse baricentrico? (Andrea Pierini e Matteo Piovaticci)

La risultante delle spinte di galleggiamento bilancia, ovviamente, il peso del natante (mg) ma risulta applicata nel metacentro anziché nel baricentro; un angolo di rollio diverso da zero provoca quindi una coppia (si vedano le Osservazioni al termine dell'esercizio). L'equazione di equilibrio delle coppie deriva, con semplici passaggi, da tali considerazioni.

#7 Con riferimento alle D4) e D5), potrebbe spiegarci brevemente cos'è un circuito alle variazioni? (Andrea Pierini e Matteo Piovaticci)

I circuiti alle variazioni descrivono le variazioni delle grandezze reali rispetto al punto di lavoro; nel caso cui fate riferimento (circuito equivalente di un transistore) non entrano in gioco le correnti di polarizzazione.

#8 Vorremmo una ulteriore precisazione sull'esercizio 17 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni: dalla Figura 17.3 emerge che il potenziale del morsetto di uscita dell'amplificatore operazionele vale V₀=-R₀i₁+G(V^--V⁺); non dovrebbe essere V₀=-R₀i₁+G(V⁺-V^-)? (Andrea Pierini e Matteo Piovaticci)

Nella Figura 17.1 gli ingressi dell'operazionale sono scambiati (si veda l'Errata Corrige del testo).

#9 Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni, ed all'esercizio 20, vorrei sapere se nel modello la corrente coincide con la potenza termica. Inoltre come è definita la potenza termica in termini termodinamici? (Vittorio Teglia)

Il modello riportato in Figura 20.2 non è il modello di una rete elettrica; non vi sono quindi correnti in gioco. Si può tuttavia osservare che tale modello è analogo al modello di una rete elettrica nella quale le correnti corrispondano alle potenze che attraversano i vari rami nel modello del sistema termico. La potenza può venire indifferentemente definita come lavoro, energia o quantità di calore nell'unità di tempo e quindi venire espressa utilizzando unità diverse, tutte comunque riconducibili a watt cioè a Joule/s (m²* kg*s^-3).

#10 Come posso calcolare gli autovalori di una matrice quando non riesco a determinare gli zeri del polinomio caratteristico (mi riferisco all'esercizio 4 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni)? Potrebbe consigliarmi un testo che tratti in modo chiaro tali algoritmi? (Cristiano Carretti)

L'algoritmo più usato per il calcolo degli autovalori di una matrice è il Q-R; può trovarne una descrizione in Wilkinson, J.H. e Reinsch, C., Linear Algebra, vol. II di Handbook for Automatic Computation, New York, Springer Verlag, 1971, oppure in Golub, Gene H., e Van Loan, Charles F., Matrix Computations, Baltimora, Johns Hopkins University Press, 1983. Tale algoritmo non è orientato ad un calcolo manuale ma all'implementazione su calcolatore. L'ambiente di calcolo standard che si è imposto a livello mondiale nel settore dell'algebra lineare è il Matlab che è stato fornito a tutti gli allievi che hanno frequentato il corso nell'ambito di una Classroom Teaching License; i calcoli relativi all'esercizio cui lei fa riferimento sono stati svolti usando Matlab. Aggiungo che durante la prova d'esame non è consentito utilizzare un computer e che le prove da svolgere non ne richiedono l'uso.

#11 In riferimento all'esercizio dell'amplificatore differenziale, come funziona un partitore di tensione? (Nicola Garofalo)

Dalla sua domanda non è possibile dedurre a quale esercizio si faccia riferimento; nel testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni sono infatti presenti due diversi esercizi, il 15 e il 17, che considerano amplificatori differenziali nei quali uno dei due ingressi è alimentato da un partitore di tensione. In generale, comunque, un partitore resistivo è semplicemente formato dalla serie di due resistenze, R₁ e R₂ alimentata da un generatore di tensione. Se indichiamo con V la tensione che alimenta il partitore, quella che possiamo prelevare a vuoto (cioè senza assorbimento di corrente) ai capi di una delle due resistenze, ad esempio R₂, è data da VR₂/(R₁+R₂). Scegliendo opportunamente R₁ e R₂ è quindi possibile prelevare una frazione arbitraria della tensione con la quale il partitore viene alimentato. Nell'esercizio 15, ad esempio, è presente un partitore formato da due resistenze uguali alimentato dall'uscita di un amplificatore operazionale; la sua uscita è collegata all'ingresso non invertente di un amplificatore differenziale. La tensione su tale ingresso sarà quindi, considerando amplificatori operazionali ideali, la metà di quella in ingresso al partitore.

#12 Riguardo alla realizzazione di una risposta impulsiva, a lezione abbiamo ricavato il modello discreto A,B,C. Nell'esercizio 28 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi ed Applicazioni ci veniva richiesto il modello continuo, quindi una volta ricavato quello discreto dovevamo ricavare A',B',C' del modello continuo. Nel passaggio da discreto a continuo abbiamo visto che le matrici C e D dei due modelli sono uguali, mentre A=e^A'T e B è uguale all'integrale tra 0 e T di e^A'(t-x)B' dx. Perché nell'esercizio viene posto B'=B senza considerare quest'ultima relazione? (Alessandro Cevoli)

L'esercizio 28 è un po' più complesso di quanto non appaia a prima vista poiché la risposta impulsiva assegnata è quella di un sistema continuo cui è stato applicato l'impulso di Dirac al tempo t=0; la risposta inizia quindi al tempo t=0⁺ mentre quella di un sistema discreto cui sia stato applicato un impulso unitario inizia al tempo t=T (T = intervallo di campionamento). Proprio per mettere in luce, partendo da questo esercizio, le differenze tra queste risposte (sfalsate, in realtà, di un intervallo di campionamento) abbiamo dedicato una intera lezione alla sua soluzione ed all'approfondimento di questi aspetti. Può arrivare a ricostruire la parte che le manca considerando che, essendo la risposta impulsiva una risposta libera, nei sistemi discreti un ritardo di un intervallo di campionamento equivale ad una trasformazione dello stato secondo A e ricordando che il legame tra le matrici di distribuzione degli ingressi del modello discreto e continuo di uno stesso sistema è data da B=e^A'TB'=AB' cioè dalla soluzione dell'espressione da lei citata.

#13 Nell'esercizio 16 viene ricavata la funzione di trasferimento, G(s), del sistema considerato. Successivamente, per ottenere la risposta frequenziale, si sostituisce jw ad s, tuttavia l'espressione della G(jw) risulta,almeno formalmente, abbastanza diversa da quella che si ottiene sostituendo semplicemente jw nella G(s). Era possibile ricopiare pari pari la G(s) sostituendo meccanicamente ad s, jw? Un problema analogo l'ho trovato a pagina 12.6, sempre nel calcolo di G(jw). (Andrea Cavallaro)

La G(jw) è una funzione di variabile complessa della quale ha interesse calcolare il modulo (risposta in ampiezza) e l'argomento (risposta in fase); viene quindi normalmente scritta separando la parte reale da quella immaginaria.

#14 A pag. 4.1 del libro Teoria dei Sistemi: Esercizi e applicazioni (esercizio sulla sospensione) non bisognerebbe considerare anche la forza peso nel bilancio delle forze? In questo caso avremmo un ulteriore ingresso (anche se costante). (Tue Jan 4 18:49:57 2000, Alessandro Caselli)

La forza peso è bilanciata dalla deformazione dell'elemento elastico della sospensione (molla, balestra, barra di torsione, elemento a gas ecc.) in assenza di altre forze e quello che interessa calcolare è proprio lo spostamento rispetto a tale situazione. La costruzione di un modello che descriva queste deviazioni non richiede l'introduzione di tale forza che, quand'anche variasse, ad esempio per variazioni di carico del veicolo, sposterebbe solo la posizione di riposo. Naturalmente tutto questo vale nell'ipotesi, realistica solo entro limiti ben precisi, che l'elemento elastico della sospensione abbia un comportamento lineare.

#15 Riguardo all'esercizio 4 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi ed applicazioni, non capisco perchè nelle equazioni di bilancio delle forze non sia presente la forza peso. (Thu Feb 3 22:15:56 2000, Guglielmo Ubaldi)

Veda la risposta alla domanda #14.

#16 Riguardo all'esercizio 6 del libro Teoria dei Sistemi: Esercizi ed applicazioni, non capisco perchè nell'equazione di bilancio delle forze radiali a pag 6.2, la forza peso sia moltiplicata per R²/r². (Thu Feb 3 22:18:41 2000, Guglielmo Ubaldi)

Il motivo è quello indicato nel testo dell'esercizio: se g indica l'accelerazione di gravità sulla superficie della terra (distanza R dal centro), quella a distanza r sarà g R²/r².

#17 Non mi è chiaro come si sia effettuata la linearizzazione delle equazioni a pag 6.3 del libro Teoria dei Sistemi: Esercizi ed applicazioni. (Thu Feb 3 22:20:27 2000, Guglielmo Ubaldi)

La linearizzazione delle equazioni non lineari di pagina 6.3 è stata effettuata secondo le regole che abbiamo visto sia a lezione che nelle esercitazioni: i coefficienti delle equazioni lineari si ottengono cioè derivando i vari termini a secondo membro rispetto alle diverse variabili di stato e sostituendo in tali derivate i valori relativi allo stato rispetto al quale si effettua la linearizzazione. Dato che l'esercizio cui fa riferimento è stato interamente svolto nelle esercitazioni, riveda gli appunti presi ed anche i paragrafo 6 degli Appunti integrativi sulla stabilità.

#18 Ho provato a risolvere l'esercizio N.4 del suo libro di esercizi sulla sospensione di un veicolo. Leggendo poi la soluzione data sul testo non capisco come si possa approssimare la G(s) di ordine 4 con quella 29/(s+29). Non sono i poli lenti quelli dominanti ? La risposta al gradino della G(s) originaria mi sembra estremamente più lenta di quella della fdt approssimata. Inoltre volevo chiederle qual'è la relazione tra la matrice di risposta impulsiva e la risposta al gradino. (Sat May 13 16:47:12 2000, Andrea Di Vincenzo )

La funzione di trasferimento considerata presenta una cancellazione polo/zero che consente di non mettere in gioco il secondo polo reale; i due poli trascurati, puramente immaginari, sono legati solamente alla parte oscillatoria della risposta (anche se, in questo caso, non smorzata). La risposta di un sistema lineare all'integrale di un qualunque segnale di ingresso è uguale all'integrale della risposta al segnale stesso; la risposta al gradino è quindi uguale all'integrale della risposta impulsiva.