#1 Cosa si intende per ordine di un sistema? (Luca Roffia)

L'ordine di un sistema a stato vettore è la dimensione dello spazio degli stati di tale sistema.

#2 Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, e all'ultimo test di pag. 5.3, non capisco perché il sistema sia anche in forma minima. (Gabriele Tinti)

La definizione di equivalenza tra due stati richiede la loro indistinguibilità su qualunque intervallo. Il sistema in esame, in base a tale definizione, risulta privo di stati equivalenti.

#3 Nel compito d'esame "Appello estivo 1993 - Esercizio 2" si deve linearizzare un modello non lineare; ho provato a sostituire x_i=z_i+x_ie ed eliminare i termini contenenti z_iz_j, poi ho provato ad utilizzare il metodo generale descritto al paragrafo 6 degli Appunti integrativi sulla stabilità per verifica, ma ho ottenuto due modelli diversi sia nella matrice A che nei suoi autovalori. Ho commesso un errore di calcolo oppure uno dei due metodi non è corretto? (Andrea Pierini)

Gli appunti resi disponibili sono corretti; non è invece ben chiaro l'altro metodo da lei applicato dal momento che nella linearizzazione del modello in oggetto non compaiono termini del tipo da lei indicato. Può verificare il risultato ottenuto facendo riferimento all'esercizio 25 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni che descrive in dettaglio la linearizzazione di tale modello preda-predatore (che abbiamo studiato anche durante il corso).

#4 Nell'ultimo test di pagina 5.3 del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti (presente anche nell'Errata Corrige) non mi è chiaro il fatto che il sistema sia in forma minima. Personalmente ritengo giusto il commento da Lei riportato in risposta al test. (Cristiano Gragnato)

La risposta A che, come lei ha notato, è in contrasto con il commento del test, è stata aggiunta per congruenza con la definizione di forma minima riportata sul testo Teoria dei Sistemi e del Controllo ufficialmente adottato, che definisce due stati come equivalenti solo se indistinguibili su ogni intervallo. La definizione considerata al momento della preparazione del test in oggetto (la raccolta riguarda test preparati su un notevole arco di tempo) è invece congruente con il commento al test. Va anche osservato che, sempre in base al testo adottato, le risposte C e D dovrebbero essere rispettivamente: è diagnosticabile in [t₀,t₁] e è incasellabile in [t₀,t₁].

#5 Ho visto con molto piacere la videocassetta sui frattali la settimana scorsa. Sono da sempre affascinato da queste teorie, e mi ha fatto un immenso piacere vedere che finalmente anche in ambito scolastico (con questo intendo unire il mondo della scuola superiore e quello accademico) se ne parla. Purtroppo sono sempre stato un amante platonico nei confronti della geometria frattale, anche perché devo confessare che tutti i miei tentativi di leggere Gli oggetti frattali: forma, caso, e dimensione sono miseramente falliti di fronte a definizioni matematiche che mancavano di collegamenti immediati con le infinite applicazioni che la teoria sembrava rendere possibili, stando a quanto si leggeva sulle riviste scientifiche. A questo proposito si colloca la mia domanda: ho letto su un numero di Scientific American (dovrebbe risalire all'Agosto 1995) che è possibile, con opportuni accorgimenti e sfruttando risultati delle teorie sui frattali, controllare sistemi caotici in modo da farli comportare in maniera ordinata. Si citava l'esempio di una striscia metallica che in un campo magnetico uniforme può vibrare caoticamente (quasi come il sistema convettivo di Lorentz), mentre sottoposta ad un opportuno campo caotico, può assestarsi in una vibrazione periodica. Mi sembra che questa sia un'interessante soluzione ad un problema di controllo, e i problemi di calcolo che esso pone ben si adattano a soluzioni informatiche. Per questo vorrei chiederle se pensa sia possibile, nell'ambito dei corsi del triennio, che si discutano questi tipi di applicazioni. Mi rendo conto che si tratta di argomenti forse un po' troppo "sperimentali" e quindi improponibili spesso in ambito accademico, dove purtroppo le teorie hanno normalmente bisogno di una certa "sedimentazione". La loro grande potenza, però, mi fa rimpiangere di non poterle apprendere seriamente, se non con un lavoro personale. (Matteo Fortini)

Il contenuto della videocassetta sui frattali ed il caos che abbiamo visto nell'ambito del corso aveva lo scopo di sottolineare sia la complessità rilevabile nel comportamento di alcuni sistemi non lineari sia i legami, spesso sorprendenti, tra strutture astratte (matematiche) e realtà fisiche. Se, da un lato, questi aspetti devono indurre ad utilizzare con cautela i modelli semplificati che spesso costruiamo, dall'altro aprono prospettive affascinanti su applicazioni sempre più concrete; si vedano, a tale proposito, quelle nel settore dei mercati finanziari e quelle nella elaborazione e nel filtraggio non lineare di segnali. Il suo interesse per tali settori potrebbe indirizzarla nella scelta del tema per la tesi di laurea o, successivamente, nella scelta del tema da sviluppare nell'ambito del Dottorato di Ricerca.

#6 Mi chiedevo se era possibile avere anche la correzione delle spiegazioni alle risposte dei test che risultano presenti nell'elenco dell'errata-corrige, perché secondo me, le correzioni introdotte dall'errata-corrige rendono incomprensibile (almeno in parte) la spiegazione del motivo per cui sono corrette certe risposte piuttosto che altre. Riporto un elenco delle risposte che necessiterebbero di quanto sopra. Sistemi non lineari:

Pagina 5.3, ultima domanda in fondo alla pagina. La spiegazione dice: "Con la funzione di ingresso considerata ogni possibile stato iniziale genera una risposta diversa. Non esistono dunque stati indistinguibili nell'intervallo considerato; ciò tuttavia non basta per poter affermare che il sistema è in forma minima dovendo, in tale caso, valere la proprietà precedente in ogni intervallo di tempo...."

Il secondo periodo è in contrasto con l'introduzione della nuova risposta. Una possibile modifica potrebbe essere del tipo: "Essendo quindi non verificata la condizione di indistinguibilità per tutte le possibili funzioni di ingresso in ogni intervallo di tempo, ne consegue che il sistema è in forma minima."? (Giuseppe Busi)

La prima risposta della domanda cui lei si riferisce è stata modificata per renderla compatibile con la definizione di forma minima data sul testo adottato (G. Marro, Teoria dei Sistemi e del Controllo) che (pag, 20, Definizione 1.3.10) definisce due stati come equivalenti se indistinguibili in ogni intervallo. Nel caso specifco, esistendo un intervallo privo di stati indistinguibili, segue che il sistema è in forma minima; la sua variazione è quindi corretta. La risposta precedente (e la relativa spiegazione) fanno riferimento, per la definizione di equivalenza, alla necessità della assenza di stati indistinguibili in ogni intervallo, cioè ad una condizione più restrittiva; essendo i sistemi in oggetto non stazionari, entrambe le definizioni sono lecite e si è preferito adottare quella dell'attuale testo per ovvi motivi di uniformità.

#7 In un modello differenziale ingresso/uscita, l'ordine di derivazione dell'ingresso può essere maggiore di quello dell'uscita? (Federico Dall'Olio)

Solo se il sistema non è causale.

#8 Supponiamo di considerare sistemi diversi con lo stesso spazio degli stati Rⁿ. Non capisco perché per alcuni di essi possa esistere una funzione di Liapunov in un intorno dell'origine e per altri no dato che gli insiemi degli stati sono gli stessi. (Andrea Di Vincenzo)

Perché la derivata rispetto al tempo di una funzione di Liapunov dipende dal modello del sistema, non solo dal punto dello spazio degli stati ove viene calcolata.

#9 A pag. 117/118 del libro di teoria, nella dimostrazione del Teorema 4.2.1, si suppone ||x(t0)||0))<=psi(eta). Dato che V(.) è non decrescente, segue V(x(t))<=psi(eta), t>=t0. Non capisco quest'ultima implicazione. (Andrea Di Vincenzo)

V(.) è non crescente (e non non decrescente) lungo una traiettoria (dato che la sua derivata rispetto al tempo è negativa). Credo che nell'Errata Corrige del testo sia presente la correzione di questo errore.

#10 Se ho un sistema non lineare, lo linearizzo secondo i medodi tradizionali e applico il criterio di Liapunov ridotto, se ottengo autovalori a parte reale negativa e altri nulli non ho informazioni. Ma quando linearizzo ottengo una matrice A e una B che assomigliano a quella dinamica e di distribuzione degli ingressi, e potrei essere in un caso di un sistema lineare e stazionario; allora non potrei affermare che in un caso del genere se non ho modi instabili posso parlare di sempice stabilità? (Andrea Castagnini, Thu Dec 30 09:43:43 1999)

Non è ben chiaro cosa lei intenda con la locuzione assomigliano a quella dinamica e di distribuzione degli ingressi...; A e B sono la matrice dinamica e di distribuzione degli ingressi del modello linearizzato. La stabilità semplice di tale modello non consente di dedurre informazioni circa la stabilità dello stato di equilibrio rispetto al quale è stata effettuata la linearizzazione.

#11 Un sistema dinamico asintoticamente stabile è anche semplicemente stabile. Perchè allora in molti test presenti nel libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti (ad esempio il 2° test a pag. 7.24) ciò non risulta acquisito? (Tue Feb 1 16:47:11 2000, Alessandro Pedori)

Le condizioni di stabilità asintotica richiedono che vengano soddisfatte anche quelle relative alla stabilità semplice; con la locuzione sistema semplicemente stabile si indica tuttavia un sistema che soddisfa le condizioni per la stabilità semplice ma non quelle relative alla stabilità asintotica. E' dunque improprio affermare che un sistema asintoticamente stabile è anche semplicemente stabile: un sistema stabile lo è asintoticamente o semplicemente.