#1 È possibile che le previsioni metereologiche vengano realizzate, almeno per quanto riguarda le temperature, con un filtro di Kalman? (Andrea Zauli)

Il filtro di Kalman ha un campo di applicazioni molto vasto; tra queste vi è anche la previsione dello stato (e quindi dell'uscita) di processi stocastici. In questo contesto viene utilizzato per previsioni di carattere meteorologico; consultando il Bollettino Meteo del Servizio Meteorologico Regionale dell'Emilia-Romagna avrà modo di verificare direttamente l'applicazione di tali tecniche.

#2 Non ho capito cosa abbiamo inteso scrivendo E[w(t)w^T(t)] dove w(t) è un processo vettoriale bianco non misurabile che agisce sullo stato del sistema, e come operativamente si calcola E[w(t)w^T(t)]. (Gabriele Tinti)

La notazione E[w(t)w^T(t)] indica il valore atteso del prodotto di w(t) per il suo trasposto cioè, nell'ipotesi che E[w(t)]=0, il nucleo di covarianza del processo w(t). Tale matrice, necessaria per il progetto del filtro di Kalman, non può venire dedotta dalle sequenze di ingresso e di uscita (w(t) non è accessibile); è quindi necessario, per il progetto del filtro, ipotizzarne la conoscenza a priori. Spesso viene usata una stima anche molto approssimata di tale matrice di covarianza, affinandola poi in base allo scostamento tra la covarianza fornita dal filtro sulla stima dello stato e quella teorica, fornita dalla soluzione dell'equazione di Riccati.

#3 Nell'esercizio 3 della sessione invernale 1996 presente nella sezione Temi d'esame, si chiede di calcolare la varianza della stima dello stato fornita a regime da un filtro di Kalman per il sistema proposto. Bisogna utilizzare l'equazione algebrica di Riccati? (Nicola Garofalo)

Sì.

#4 Il guadagno di un Filtro di Kalman deve essere necessariamente positivo o può anche essere nullo o negativo? (Terenzio Berni)

Immagino lei si riferisca, implicitamente, al caso scalare, dato che il guadagno di un Filtro di Kalman è una matrice. Ciò posto, tale matrice (espressione (4) a pagina 1 degli Appunti sul Filtro di Kalman presenti sul server) può contenere elementi negativi o nulli. Nel caso scalare il guadagno risulta nullo solo quando la varianza dell'errore di stima si annulla (il filtro in tale caso ha uno stato uguale a quello del sistema e non utilizza ulteriormente le osservazioni, operando invece come un modello); il guadagno risulta poi negativo negli istanti di tempo in cui lo scalare c(t) che lega l'uscita allo stato è negativo.

#5 Che cosa si intende esattamente con i termini matrice di covarianza e processo stocastico Gaussiano bianco? (Stefano Ricciarelli)

Le definizioni di suo interesse richiedono una notazione che non è possibile formulare direttamente in HTML; trattandosi di definizioni che può trovare su qualunque testo di statistica non ritengo inoltre opportuno preparare una risposta utilizzando formati adeguati (PDF). Può fare riferimento, ad esempio, al testo Progetto di Sistemi di Controllo di M. Tibaldi ed in particolare ai Capitoli 9, 10 e 11 dove può trovare tali definizioni.

#6 Nella riga 12 a pagina 5, degli appunti integrativi sul filtro di Kalmam viene data una soluzione dell'equazione di Riccati nel caso discreto che, applicata al caso proposto nel secondo esercizio della prova d'esame del Febbraio 1996 da sempre una soluzione <0 per P(K). Sugli appunti presi da me a lezione la stessa soluzione nel caso discreto veniva formulata senza il secondo addendo nella somma a destra dell'uguale. Inutile dire che applicando la seconda allo stesso esercizio le soluzioni erano 2 di cui una positiva. Vorrei sapere se:
1) Il tipo di formule da me applicate in quell'esercizio è corretto.
2) La formula corretta è quella sugli appunti integrativi o quella dei miei appunti.
3) Se in questo caso sarebbe possibile avere una P(k)<0.
(Giorgio Grillini)

Non conosco i suoi appunti né il contesto nel quale sono stati presi; posso però confermarle la correttezza dell'espressione riportata negli appunti integrativi (che, peraltro, può trovare su qualunque libro che tratti il Filtro di Kalman). Naturalmente il termine in questione (matrice di covarianza del rumore sullo stato) risulterà assente (o meglio, nullo) qualora tale disturbo non sia presente. L'equazione di Riccati infine, può benissimo avere soluzioni negative (più in generale non definite o semidefinite positive); tali soluzioni ovviamente non descrivono la covarianza della stima fornita dal Filtro di Kalman e vanno scartate. Per un approfondimento di tale materia le consiglio il testo Progetto di Sistemi di Controllo di M. Tibaldi.

#7 Non ho capito perché la stima fornita dal filtro di Kalman risulta essere non polarizzata, cioè E[e(t)]=0. Potrebbe fornirmi una dimostrazione intuitiva (o almeno una traccia). (Tue Jan 4 18:42:59 2000, Alessandro Caselli)

Può trovare la dimostrazione di uso interesse su molti testi, ad esempio su Progetto di Sistemi di Controllo di M. Tibaldi, reperibile sia nella biblioteca centrale Gian Paolo Dore della Facoltà di Ingegneria che in quella interna del DEIS.

#8 Sostituendo l'espressione di K(k) nell'equazione di Riccati ho ottenuto P(k+1)=[A(k)-K(k)C(k)]P(k) [A(k)-K(k)C(k)]^T+Q(k)-K(k)R(k)K^T(k) invece di P(k+1)=[A(k)-K(k)C(k)]P(k)[A(k)-K(k)C(k)]^T+Q(k)+K(k)R(k)K^T(k) scritta sugli Appunti integrativi: qual è quella corretta? (Tue Jan 4 18:45:59 2000, Alessandro Caselli)

Quella riportata sugli Appunti integrativi.