#1
Riguardo alla realizzazione di una risposta impulsiva,
a lezione abbiamo ricavato il modello discreto A,B,C.
Nell'esercizio 28 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi ed
Applicazioni ci veniva richiesto il modello continuo, quindi una
volta ricavato quello discreto dovevamo ricavare A',B',C' del
modello continuo.
Nel passaggio da discreto a continuo abbiamo visto che le matrici C
e D dei due modelli sono uguali, mentre A=eA'T e
B è uguale all'integrale tra 0 e T di
eA'(t-x)B'dx.
Perché nell'esercizio viene posto B'=B senza considerare
quest'ultima relazione? (Alessandro Cevoli)
L'esercizio 28 è un po' più complesso di quanto non
appaia a prima vista poiché la risposta impulsiva
assegnata è quella di un sistema continuo cui è stato
applicato l'impulso di Dirac al tempo t=0; la risposta inizia quindi
al tempo t=0+ mentre quella di un sistema discreto cui
sia stato applicato un impulso unitario inizia al tempo t=T
(T = intervallo di campionamento).
Proprio per mettere in luce, partendo da questo
esercizio, le differenze tra queste risposte (sfalsate, in realtà,
di un intervallo di campionamento) abbiamo dedicato una intera lezione
alla sua soluzione ed all'approfondimento di questi aspetti.
Può arrivare a ricostruire la parte che le manca
considerando che, essendo la risposta impulsiva una risposta libera,
nei sistemi discreti un ritardo di un intervallo di campionamento
equivale ad una trasformazione dello stato secondo A e ricordando
che il legame tra le matrici di distribuzione degli ingressi del
modello discreto e continuo di uno stesso sistema è data da
B=eA'TB'=AB' cioè dalla soluzione dell'espressione
da lei citata.
#2
Non ho capito perché è utile la matrice di covarianza nella
realizzazione di sequenze di ingresso/uscita di un sistema dinamico lineare,
stazionario e discreto. (Gabriele Tinti)
Operando sulla matrice di covarianza (campionaria) delle sequenze di
ingresso/uscita si ottiene il vantaggio di effettuare operazioni
algebriche su matrici simmetriche e di dimensione inferiore (qualora
si mettano in gioco tutti i campioni disponibili) rispetto a quelle
formate da sottomatrici di Hankel dei campioni di ingresso e di
uscita. I legami di lineare dipendenza tra le colonne delle matrici
di covarianza sono gli stessi presenti tra le colonne della matrice
dei campioni di i/u. Si noti che il termine matrice di covarianza
campionaria è corretto, per l'espressione che abbiamo
utilizzato quando abbiamo trattato il problema della realizzazione,
solo se le sequenze di ingresso e di uscita risultano a valor medio
nullo.
#3
Non ho capito cosa abbiamo inteso scrivendo E[w(t)wT(t)]
dove w(t) è un processo vettoriale bianco non misurabile che
agisce sullo stato del sistema, e come operativamente si calcola
E[w(t)wT(t)]. (Gabriele Tinti)
La notazione E[w(t)wT(t)] indica il valore atteso
del prodotto
di w(t) per il suo trasposto cioè, nell'ipotesi che
E[w(t)]=0, il nucleo di covarianza del processo w(t).
Tale matrice,
necessaria per il progetto del
filtro
di Kalman, non può venire dedotta dalle
sequenze di ingresso e di uscita (w(t) non è accessibile);
è quindi necessario,
per il progetto del filtro, ipotizzarne la conoscenza a priori. Spesso
viene usata una stima anche molto approssimata di tale matrice di
covarianza, affinandola poi in base allo scostamento tra la covarianza
fornita dal filtro sulla stima dello stato e quella teorica, fornita
dalla soluzione dell'equazione di Riccati.
#4
Mi può indicare qualche libro che tratti l'argomento
dell'identificazione dei sistemi dinamici?
In genere non rispondo alle domande anonime; nel suo caso tuttavia
ritengo si tratti solo di una dimenticanza. La letteratura
sull'argomento è vasta e comprende opere di valore abbastanza
differenziato. Due ottimi testi sono:
T. Söderstrom e P. Stoica, System Identification,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.
L. Ljung, System Identification: Theory for the User,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1987.
Un'altro testo molto valido è:
J.P. Norton, An Introduction to Identification, Academic
Press, New York, 1986.
#5
Qual'è la differenza computazionale tra la realizzazione da campioni
di ingresso e uscita per i sistemi puramente dinamici e per quelli non
puramente dinamici? (Cristiano Carretti)
Nel caso di sistemi non puramente dinamici il modello che si ottiene
include termini dell'ingresso che agiscono direttamente (nello stesso
istante di tempo) sull'uscita; la matrice di Hankel dei campioni di
ingresso avrà quindi, in questo caso, lo stesso numero di colonne
di quella di uscita. Questo si traduce in un incremento nel numero
minimo di campioni necessari per effettuare la realizzazione (si vedano
le domande a pag. 7.21 e 7.22 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti).
#6
Negli Appunti integrativi sugli schemi di stima abbiamo scritto Sigma~>=0: questa condizione corrisponde
al fatto che esiste una relazione di lineare dipendenza fra i campioni del rumore?
In quali casi ciò è possibile? (Jan 4 18:47:40 2000, Alessandro Caselli)
La matrice di covarianza (campionaria) del rumore è, come tutte le matrici di covarianza, definita positiva
o semidefinita positiva (algebricamente questo deriva dal fatto che può essere scomposta nel prodotto della
trasposta della matrice delle osservazioni per tale matrice). Tale matrice sarà poi definita positiva
quando tutte le osservazioni sono affette da rumori nessuno dei quali esprimibile come combinazione lineare
dei rimanenti, semidefinita negli altri casi che includono anche le situazioni nelle quali si ipotizza che
solo alcune delle variabili osservate siano affette da errori (es. minimi quadrati).
Se i diversi rumori sono tra loro indipendenti, la loro matrice di covarianza sarà poi diagonale mentre nel
caso risultino correlati, la matrice di covarianza avrà elementi non nulli anche al di fuori della diagonale.
Nella pratica, operando con sequenze di lunghezza finita, è del tutto improbabile che tale matrice sia
diagonale così come è poco realistico pensare di disporre di misure del tutto prive di errori;
tuttavia anche schemi di stima basati su ipotesi di questo tipo possono risultare efficaci e
costituiscono, in effetti, la grande maggioranza degli schemi di stima utilizzati (si pensi nuovamente
ai minimi quadrati).
Un'ultima osservazione: attenzione alla notazione! Quella usata da lei indica solo una matrice
semidefinita positiva e non una matrice definita o semidefinita positiva come noi abbiamo fatto (relazione
(16) a pagina EIV2).
#7
Che differenza c'è tra matrice di covarianza e matrice di varianza?
(Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)
Matrice di varianza non è un termine utilizzato; si parla infatti di varianza con riferimento
a processi stocastici scalari e di matrice di covarianza per quelli vettoriali. Gli elementi
sulla diagonale della matrice di covarianza di un processo vettoriale sono poi le varianze
delle singole componenti del vettore.
#8
Ho svolto l'esercizio di realizzazione presente sul server riguardante i sistemi non puramente dinamici e
sono riuscito, con un sitema di ordine 1, a ricavare il modello nello spazio degli stati abbastanza faticosamente.
Qual è il metodo sistematico per procedere in questi casi ? (Jan 4 08:41:40 2000, Gianluca Lucente)
Una volta ottenuto, con i procedimenti che abbiamo visto a lezione, un modello polinomiale di ingresso-uscita
dai dati osservati, la deduzione di un modello nello spazio degli stati completamente osservabile è molto
semplice. Può trovare tutta la procedura nell'esercizio 29 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e
Applicazioni.
#9
Sono uno studente del suo corso di Teoria dei Sistemi. Volevo sapere se esiste una dispensa
circa i seguenti argomenti coperti dal corso: Identificazione dei modelli ARX. Applicazione
del filtro di Kalman alla identificazione in linea di un modello ARX. Ho seguito Teoria dei
Sistemi nell'anno academico 1996-97 e tali argomenti non sono contenuti nei miei appunti e
nel testo di riferimento (Marro). (Thu Jan 6 20:15:12 2000, Alessandro Nucci)
Gli argomenti in oggetto sono trattati negli ipertesti del corso a scelta Dynamic
System Identification accessibile all'indirizzo
http://sting.deis.unibo.it/virtue/.
Agli allievi non iscritti al corso è accessibile la sola versione dimostrativa
che, mentre contiene ogni elemento relativo alla identificazione dei modelli ARX,
non contiene il modulo relativo alla identificazione in linea di tali modelli con
il Filtro di Kalman. Non abbiamo comunque fatto in tempo a trattare questo argomento
nel corso del corrente anno accademico quindi non fa parte del programma di esame.
