|
 |
|
|
 #1
Non ho ben capito perché si possa dire che in un legame
ingresso-uscita in cui compaiono termini fino alla derivata seconda
dell'uscita e solo fino alla derivata prima dell'ingresso, l'assenza
della derivata seconda dell'ingresso permetta di evincere che il sistema
risulta puramente dinamico. Mi riferisco al terzo test del primo capitolo
sul testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti.
(Mirko Tedaldi)
La condizione (che viene data nella discussione della domanda) può
venire dimostrata facendo riferimento alla soluzione della equazione
differenziale che costituisce il modello del sistema considerato.
Una via parallela di buona efficacia mnemonica consiste nel fare riferimento
ai modelli a tempo discreto; l'esempio considerato avrebbe un modello del
tipo y(t+2)+3y(t+1)y(t)+2y(t)=u(t)+u(t+1) che risulta, ovviamente,
puramente dinamico.
#2
Quando nei test ci si trova a dover valutare la verità di espressioni
del tipo: "È possibile ...espressione...", essa si intende vera
quando:
a) È sempre possibile eseguire l'azione descritta da
espressione;
b) È possibile che accada di poter eseguire l'azione descritta da
espressione, cioè a volte è possibile, magari in
base a delle ipotesi né escluse né assicurate.
Il caso del primo test del cap. 6 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti pare indichi il caso a). È vero?
Inoltre esaminando altri test la situazione "a volte è possibile ..."
è sempre descritta da una espressione del tipo "può essere
possibile" o equivalentemente "può non essere possibile", mentre
"è sempre possibile" è scritto più brevemente
"è possibile". Esiste questa tacita regola? (Paolo Bastia)
Non vengono applicate regole occulte; la risposta
corretta è pertanto, come da lei indicato, la a).
Per evitare ogni dubbio anche ai più distratti vengono spesso
usate espressioni poco compatte ma assolutamente inequivoche, come
quelle riportate.
#3
Nell'undicesimo test del capitolo sui sistemi lineari non stazionari
del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
si afferma che in un sistema lineare non stazionario continuo gli elementi
di C(t) sono funzioni continue a tratti.
Mi sembra di aver capito che in un sistema non stazionario la variabilità
degli elementi delle matrici caratteristiche rappresenti la variazione nel
tempo di parametri fisici del sistema; come è possibile che siano
funzioni continue a tratti? Esiste un esempio ? (Paolo Bastia)
Discontinuità nei parametri che definiscono il modello di un
sistema possono essere causate da azioni di controllo sul sistema
stesso e sono abbastanza frequenti nella pratica. Un esempio
realistico è descritto nell'esercizio 9 del testo Teoria dei
Sistemi: Esercizi e Applicazioni (carrello
a trazione elettrica) dove la frenatura determina la
commutazione tra due modelli. In tale caso è possibile
descrivere il sistema sia con un modello stazionario non lineare
che include tra i propri ingressi l'azione di controllo, sia con
un modello lineare non stazionario (come viene fatto nell'esercizio
indicato che considera i due modelli relativi alle diverse condizioni
operative).
#4
Con riferimento alla seconda domanda di pagina 1.7 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
non capisco perché non siano considerate corrette le
risposte C e D. (Daniele Cremonini)
Il motivo della esclusione delle risposte C e D dall'insieme di quelle
corrette risiede nell'aggettivo opportuna utilizzato per
definire una funzione di ingresso che soddisfi le condizioni poste e
non nella unicità o meno di tale funzione. Nel caso in esame
infatti la completa osservabilità del sistema implica
l'idoneità di ogni funzione.
#5
Nell'ultima domanda di pagina 1.7 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati
e risolti ho risposto ABCD invece di AB; se gli insiemi E+
ed E- hanno un solo elemento per qualunque funzione di ingresso
ammissibile, significa anche che esiste una opportuna funzione di ingresso
tale che E+ ed E- contengono un solo elemento, quindi
AB => CD. (Michele Zanin)
La chiave di interpretazione delle risposte risiede nel
significato attribuito all'aggettivo "opportuna" (si veda anche la
domanda 24). In altri termini, quando si afferma che una certa
proprietà vale per un opportuno ingresso si intende che
l'ingresso deva venire scelto in maniera specifica, escludendo la
possibilità che sia generico.
#6
Nella terza domanda di pagina 3.1 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, ho risposto A invece di B; ho pensato
ad un sistema con 2 stati (A e B), 2 simboli di ingresso (0 e 1) e 2
simboli di uscita (0 e 1) dove l'uscita 1 segnala la presenza di due
simboli di ingresso consecutivi uguali. Ecco una descrizione del sistema:
f 0 1
A A B
B A B
Funzione di stato futuro
g 0 1
A 1 0
B 0 1
Funzione di uscita
Ho provato a simularlo con FSS e a regime funziona...
(Michele Zanin)
I due stati del sistema da lei progettato memorizzano
la presenza in ingresso di uno 0 come ultimo simbolo (A) o di un 1 (B);
non è quindi possibile impostare lo stato inziale in modo che
il sistema funzioni correttamente, fin dall'inizio, con qualunque
sequenza di ingresso; ciò richiede, in effetti, l'introduzione
di un terzo stato. Se si tollera che il primo simbolo di uscita possa
non essere corretto, il sistema funziona, come da lei rilevato,
correttamente.
#7
Nella seconda domanda di pagina 3.9 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati
e risolti, ho risposto "NULLA" al posto di B; se esiste un simbolo
di uscita che nessuno stato può produrre, il problema del
controllo per ottenere quel simbolo di uscita non ha soluzione
neppure se il sistema è fortemente connesso. (Michele Zanin)
L'insieme dei simboli di uscita di un sistema non può contenere,
per definizione, simboli che non possano venire generati da nessun stato
del sistema; la risposta corretta è quindi proprio la B.
#8
Nella prima domanda di pagina 3.15 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, ho risposto "NULLA" invece di AB; se
uno dei due stati ha altri stati equivalenti, non posso determinare
univocamente lo stato iniziale. (Michele Zanin)
Nella diagnosi a coppie l'insieme degli stati iniziali ammissibili
contiene solo due stati e lo scopo della diagnosi è
quello di distinguere tra di loro questi stati. Condizione necessaria
e sufficiente perché il problema ammetta soluzione è la
non equivalenza di tali stati. Le risposte corrette sono quindi la A
e la B.
#9
Nella prima domanda di pagina 3.21 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, ho risposto ABC invece di BC; secondo
me B => A. (Michele Zanin)
La risposta A implica anche la possibilità che la forma minima
considerata non risulti fortemente connessa. Poiché
ciò non può accadere, la risposta A non può
essere considerata corretta.
#10
Dalla risposta da lei data alla domanda 13 nella sezione Sistemi
Lineari delle FAQ, si deduce che un sistema
stazionario con la matrice di transizione singolare abbia il sottospazio
di controllabilità di dimensione necessariamente maggiore di quella
del sottospazio di raggiungibilità, il che implicherebbe la non
completa raggiungibilità del sistema.
Questo, però, contraddice ciò che viene affermato nel
commento al primo test di pagina 7.3 del testo Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti, in cui si afferma che la
singolarità della matrice di transizione non è condizione
preclusiva per la completa raggingibilità. (Mirko Tedaldi)
La singolarità della matrice di transizione in un sistema lineare
stazionario e discreto certamente non preclude la completa
raggiungibilità; si pensi, ad esempio, al sistema
descritto dal modello x(k+1)=u(k), ove la matrice dinamica
(e quindi anche quella di transizione) è nulla e la matrice di
distribuzione degli ingressi è l'identità. La risposta
alla domanda 13 si riferisce, implicitamente, al caso in cui il
sistema non risulti completamente raggiungibile poiché,
in caso contrario, è immediato verificare come anche il
sottospazio di controllabilità coincida con l'intero spazio
degli stati. Se preferisce includere anche questo caso, può
sostituire il termine maggiore con non minore nella
risposta 13.
#11
Nel penultimo test a pagina 7.18 del testo Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti, si afferma giustamente che la
memoria di un sistema discreto, lineare e stazionario, è minore
o uguale al grado del polinomio minimo di A. Questo comporta anche
che la memoria sia minore del grado del polinomio caratteristico di A,
però nella soluzione compare solo la risposta C, anziché B,C.
(Mirko Tedaldi)
Le soluzioni corrette (B e C) sono da tempo presenti nella
Errata Corrige
del testo (presente nella sezione Testi
sul server). Approfitto dell'occasione per ricordare come sia utile
cancellare frequentemente la cache del browser o utilizzare
il tasto reload per evitare di vedersi proporre versioni
obsolete degli ipertesti presenti sul server. Una alternativa
può consistere nel ridurre drasticamente (configurando le
opzioni del browser) il tempo di latenza.
#12
Con riferimento alla seconda domanda di pagina 2.2 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, è vero,
in generale, che l'immagine della controimmagine di un sottoinsieme
coincide con il sottoinsieme stesso?
Un possibile controesempio potrebbe essere il caso in cui il
sottoinsieme in questione non appartenga all'immagine della funzione.
In tal caso la sua controimmagine sarebbe vuota e di conseguenza anche
l'immagine della controimmagine lo sarebbe. (Livio Profiri)
La domanda in oggetto si riferisce ad una funzione il cui codominio
sia l'intero insieme X; la notazione utilizzata, non
sufficientemente chiara, ha determinato l'esclusione di tale
domanda dal gruppo utilizzato come base per la preparazione delle
prove di valutazione.
#13
Nella matrice di risposta impulsiva devono sempre comparire tutti
i modi della parte raggiungibile e osservabile? Non potrebbe essere che
alcuni modi, data una particolare forma di A e B, scompaiano?
Se così fosse allora la risposta C all'ultimo test a pagina 7.61
del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, non sarebbe
vera. (Mirko Tedaldi)
Ogni modo della parte raggiungibile ed osservabile di un sistema dinamico
lineare è presente in almeno un elemento della matrice di risposta
impulsiva; la dimostrazione può seguire le stesse linee di quella
data per la matrice di transizione. Se tale proprietà non valesse,
la risposta impulsiva e la matrice di trasferimento non costituirebbero
descrizioni complete di tale parte del sistema.
#14
Nell'ultimo test a pagina 7.62 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, perché l'integrale della risposta
impulsiva rappresenti la risposta forzata, non bisogna specificare che
il sistema sia puramente dinamico? (Mirko Tedaldi)
La domanda fa, in effetti, riferimento a sistemi puramente dinamici;
questo lo si deduce però solo dal commento ove viene riportata
l'espressione della risposta forzata. Nel testo deve quindi venire
specificato che il sistema è puramente dinamico; la variazione
è stata aggiunta alla
Errata Corrige
del testo (nella sezione Testi).
#15
Non ho ben capito l'Errata Corrige
del libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, relativa alla
pagina 7.28; probabilmente il conteggio delle righe deve essere effettuato
dal basso e non dall'alto, come è invece indicato.
Però se così fosse, sarebbe corretta l'affermazione
che un sistema, lineare e stazionario, discreto e stabile i.l.s.l.,
è anche asintoticamente stabile se è completamente
controllabile, il che non è vero dato che la completa
controllabilitè non implica necessariamente la completa
raggiungibilità. (Mirko Tedaldi)
Le righe vanno, in effetti, contate dal basso (la tredicesima dall'alto non
contiene risposte). Ciò posto, la risposta B è corretta
non perché la completa controllabilità implichi (nei
sistemi discreti) la completa raggiungibilità, ma perché,
in un sistema lineare stazionario discreto completamente controllabile e
stabile i.l.s.l., tutti i modi della parte non raggiungibile risultano
necessariamente asintoticamente stabili. La domanda in oggetto non è
tra le più facili.
#16
Con riferimento alla prima domanda di pag. 6.7 del testo Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti, non capisco perché la
risposta esatta sia B; infatti sostituendo nella espressione dello stato
iniziale lì riportata prima l'espressione della risposta libera e
poi l'espressione di Q, si trova Q+Qx0 che
dovrebbe rappresentare la proiezione di x0 su
Im(QT) e non su Im(Q). (Andrea Pierini)
Q, essendo simmetrica, coincide con la sua trasposta.
#17
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e
risolti, e al primo test di pagina 3.28, perché la diagnosi
è risolvibile anche con 5 esperimenti semplici? (Gabriele Tinti)
Il numero massimo di esperimenti necessari è, nel caso
considerato, pari a 4; è quindi sempre possibile risolvere il
problema della diagnosi con un esperimento multiplo che preveda 4 o
più esperimenti. Si noti che la domanda non fa riferimento al
numero minimo di esperimenti semplici necessari.
#18
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e
risolti, e all'ultimo test di pag. 5.3, non capisco perché
il sistema sia anche in forma minima. (Gabriele Tinti)
La definizione di equivalenza tra due stati richiede la loro
indistinguibilità su qualunque intervallo. Il sistema
in esame, in base a tale definizione, risulta privo di stati
equivalenti.
#19
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e
risolti, e all'ultimo test di pag. 7.56, cosa si intende per
integratore? (Gabriele Tinti)
Un sistema la cui risposta forzata coincida con l'integrale della
funzione di ingresso. Sistemi di tale tipo, realizzati mediante
amplificatori operazionali, sono descritti negli esercizi 14 e 15
del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni.
#20
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e
risolti, e al primo test di pag. 7.57, perché fra le
risposte esatte è da escludere la A? (Gabriele Tinti)
Perché la condizione descritta da tale risposta non implica
affatto la nilpotenza della matrice dinamica. Consideri, ad esempio,
il sistema con matrice dinamica A=I e matrice di distribuzione degli
ingressi B=I; tale sistema risulta completamente controllabile ma
non soddisfa la condizione richiesta dalla domanda (ogni stato
risulta di equilibrio con ingresso nullo).
#21
Con riferimento alla seconda domanda di pagina 2.2 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
mi sembrano corrette le risposte B e C mentre sul libro viene
indicata la A. C'è forse un errore? (Cristiano Cavallari)
Si veda la risposta data alla domanda 12.
#22
Con riferimento alla prima domanda di pagina 3.28 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
sul libro vengono indicate come corrette le risposte A e B.
Per risolvere la diagnosi nelle condizioni indicate sono necessari,
al più, m-1 esperimenti semplici (dove m indica
il numero degli stati iniziali ammissibili) quindi, nel caso
specifico, ne basteranno 4. È poi evidente che con un
esperimento in più (anche se non strettamente necessario)
posso ancora risolvere la diagnosi. Questa motivazione è esatta?
(Cristiano Cavallari)
Sì. Ricordo che è necessario indicare sempre tutte
le risposte corrette.
#23
Nell'ultimo test di pagina 5.3 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti (presente anche
nell'Errata Corrige)
non mi è chiaro il fatto che il sistema sia in forma
minima. Personalmente ritengo giusto il commento da Lei riportato in
risposta al test. (Cristiano Gragnato)
La risposta A che, come lei ha notato, è in contrasto con il
commento del test, è stata aggiunta per congruenza con la
definizione di forma minima riportata sul testo Teoria dei Sistemi
e del Controllo ufficialmente adottato, che definisce due stati
come equivalenti solo se indistinguibili su ogni intervallo.
La definizione considerata al momento della preparazione del test
in oggetto (la raccolta riguarda test preparati su un notevole arco
di tempo) è invece congruente con il commento al test.
Va anche osservato che, sempre in base al testo adottato, le risposte
C e D dovrebbero essere rispettivamente: è diagnosticabile
in [t0,t1] e è incasellabile
in [t0,t1].
#24
Con riferimento al secondo test di pagina 7.5 del testo Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti,
non ho ben capito perché se un sistema lineare
stazionario discreto ha la matrice A nulla è
completamente ricostruibile. (Cristiano Gragnato)
Perché a partire da qualunque stato iniziale x0,
all'istante successivo ci si trova nello stato x1=Bu(0)
determinabile indipendentemente da x0.
#25
Nella risposta al primo test di pagina 7.13 del testo Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti, si dice
che uno stato di equilibrio con ingresso nullo
corrisponde ad un moto libero. Ciò non vale per
uno stato che non sia di equilibrio? (Cristiano Gragnato)
La traiettoria relativa ad un moto può coincidere con un singolo
stato, in un assegnato intervallo di tempo, solo se tale stato
risulta di equilibrio (con ingresso nullo o meno) nell'intervallo
considerato; diversamente la traiettoria sarà formata da una
sequenza di stati diversi e non da un solo stato.
#26
Con riferimento all'ultimo test di pagina 7.58 del testo Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti,
non mi è chiaro come mai se la risposta forzata
risulta illimitata posso affermare che è
presente almeno un modo non asintoticamente
stabile. Io direi piuttosto che è presente
almeno un modo instabile (invalidando la risposta B). (Matteo Meucci)
È facile convincersi che la risposta corretta è quella
riportata facendo riferimento, ad esempio, ad un integratore, che dispone
di un solo modo semplicemente stabile (un solo polo nell'origine).
La risposta di tale sistema ad un ingresso costante (quindi limitato)
è una rampa (non limitata).
#27
Nell'ultima domanda a pag. 3.15 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, si fa riferimento ad un sistema a stati finiti
in forma minima con due simboli di ingresso e 3 stati. Come mai l'ultima
risposta, che afferma che tale numero è pari a tre se il sistema
è di Moore, non è corretta? Il fatto che il sistema sia in
forma minima e di Moore non implica che abbia un numero di simboli di
uscita pari al numero degli stati del sistema? (Giuseppe Busi)
La forma minima di un sistema di Moore non richiede che
ad ogni stato si associato un diverso simbolo di uscita ma solo che,
come per ogni sistema a stati finiti, la partizione di equivalenza sia
la partizione minima. Se ogni stato di un sistema di Moore è
associato ad un simbolo di uscita diverso il sistema è, ovviamente,
in forma minima poiché la partizione di 0-indistinguibilità
è, in tale caso, la partizione minima e coincide quindi con
la partizione di equivalenza. In generale (sistemi di Mealy e di Moore)
il fatto che risulti P0=Pm implica che il
sistema sia in forma minima ma non vale la proposizione inversa.
#28
Nell'ultima domanda a pag. 3.24 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, si fa riferimento ad un sistema a stati finiti
nel quale il problema della diagnosi ammette soluzione, per ogni insieme
di stati iniziali, con un esperimento semplice e predisposto. Come mai
la prima risposta, che afferma che gli stati iniziali sono
0-distinguibili, non è corretta? Se un esperimento semplice,
risolve il problema della diagnosi, non ne segue che gli stati
iniziali ammissibili sono 0-distinguibili? (Giuseppe Busi)
Valgono le stesse osservazioni fatte nella risposta precedente;
la 0-distinguibilità e l'equivalenza di due stati sono
proprietà diverse. La possibilità di risolvere un
problema di diagnosi con un certo insieme di stati iniziali
implica che tale insieme non contenga stati equivalenti; tali stati
possono tuttavia risultare 0-indistinguibili.
#29
Nell'ultima domanda di pag. 3.32 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, viene segnalata come corretta la sola
risposta C. Non deve essere ritenuta corretta anche la B, sulla base di
queste cosiderazioni:
1) Un sistema a stati finiti in cui ha senso parlare di stato ha
profondità di memoria minima pari ad 1 in quanto una
profondità di memoria pari a 0 implicherebbe un sistema
algebrico il quale non possiede uno stato;
2) Se un osservatore si aggancia, come nel nostro caso, dopo n-mu
transizioni, allora è sicuramente agganciato dopo n-1 transizioni
in quanto n-1 => n-mu;
3) Nella domanda non è richiesto il numero minimo di transizioni
necessarie ma solo quando lo stato del sistema da osservare e
quello dell'osservatore coincidono. (Terenzio Berni)
La risposta B è, in effetti, corretta, ma per motivi diversi da quelli
che lei propone. Lei infatti suppone, nella considerazione 2), che
l'osservatore del sistema in esame si agganci dopo n-mu transizioni e da
tale osservazione, priva di riscontro (l'osservatore di un sistema con
memoria mu si aggancia dopo mu transizioni) deduce la correttezza della
risposta B. Tale risposta è invece corretta perché il valore
massimo della memoria di un sistema a stati finiti a memoria finita è
pari alla lunghezza massima dei percorsi nel grafo di transizione che, per
un sistema di ordine n, è n-1.
#30
Il commento all'ultima domanda a pagina 3.21 del libro dei Teoria dei
Sistemi: Test commentati e risolti, afferma che la completa
ricostruibilità è una proprietà che vale solo per sistemi
a memoria finita, ridotti in forma minima. La risposta A non dovrebbe essere
dunque esatta? (Ho pensato che un sistema equivalente ad un sistema ridotto
in forma minima e a memoria finita lo sia a sua volta) (Nicola Garofalo)
Un sistema a stati finiti può essere equivalente ad un altro sistema
a memoria finita ed in forma minima senza essere, necessariamente, in forma
minima; non è quindi detto che risulti completamente ricostruibile.
#31
Nel primo test di pagina 7.18 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, è indicata come corretta la sola
risposta B; perché non vanno ritenute esatte anche la A e la C?
(Terenzio Berni)
Perché ogni moto libero di un sistema lineare, stazionario e
discreto raggiunga lo stato zero in un numero finito di passi è
necessario che la matrice dinamica del sistema sia nilpotente; tale
condizione non è assicurata né dalla risposta A né
dalla C.
#32
Con riferimento alla risposta al primo test di pagina 7.35 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, mi sono
chiesto se la molteplicità degli autovalori del polinomio minimo della
connessione in
cascata può essere diversa dalla molteplicità degli autovalori
nei polinomi caratteristici dei singoli sistemi disgiunti ed in
particolare minore. (Terenzio Berni)
Per rispondere al suo dubbio basta pensare alla struttura della matrice
dinamica della connessione in cascata che risulta triangolare a blocchi
con blocchi sulla diagonale principale costituiti dalle matrici dinamiche
dei due sistemi.
Poiché tale struttura si mantiene anche nell'esponenziale di questa
matrice, ne segue che la molteplicità degli autovalori
del relativo polinomio minimo può anche eguagliare la somma
delle loro molteplicità come zeri dei singoli polinomi caratteristici
(può trovare un esempio di tale situazione nell'Esercizio 14 del testo
Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni) e non può
scendere al di sotto della massima tra le molteplicità relative
ai due polinomi minimi.
#33
Nel primo test a pagina 1.7 del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati
e risolti, le risposte corrette sono A e D. Il motivo
per cui non ho segnato anche la B e la C è che nella diagnosi si deve
costruire anche un ingresso opportuno mentre nell'osservazione e nella
ricostruzione l'ingresso è assegnato e quindi l'ingresso che ho
costruito per la diagnosi non è sicuro che risolva anche questi ultimi
due problemi: è corretto il mio ragionamento? (Gianni Rondinini)
No. Una (singola) sequenza di ingresso che risolva il problema della
diagnosi è certamente idonea anche per l'incasellamento e l'osservazione
dello stato iniziale (la diagnosi non è tuttavia sempre
risolvibile con un esperimento semplice). Le risposte B e C non sono corrette
perché il termine "completamente" implica che le proprietà
indicate siano valide con qualunque sequenza di ingresso.
#34
Nel terzo test di pagina 2.1 del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati
e risolti, non capisco perché una matrice che
rappresenti di una relazione di ordine parziale possa essere
diagonale a blocchi: una matrice diagonale a blocchi non è sempre
anche simmetrica? Mi può fare un esempio di una matrice che non lo sia?
(Gianni Rondinini)
Un esempio che le è ben noto di matrice diagonale a blocchi è
la forma di Jordan. Le relazioni di ordine parziale sono rappresentate da
matrici del tipo
1 1 1 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
che godono delle proprietà elencate nel test da lei citato.
#35
Nel secondo test di pagina 2.2 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, non capisco perché sia corretta la
risposta A e non la D. Se l'X1 cui si fa riferimento nella
spiegazione non è completamente incluso nell'immagine di f,
f(f-1(X1)) non e' X1, ma solo
una parte di esso e quindi non avrei né una parzializzazione - ho un
numero di elementi minore di quello di X1 - né una
partizione - mancano alcuni elementi di X1.
È sbagliato considerare un X1 non completamente
incluso nell'immagine di f? (Gianni Rondinini)
Non è certo sbagliato considerare un sottoinsieme X1
non completamente incluso nell'immagine di f, tuttavia il test cui lei
fa riferimento è basato su tale ipotesi che, non essendo formulata
in maniera esplicita nel testo, ha determinato da tempo l'esclusione della
domanda dalla "base" utilizzata per la preparazione delle prove di valutazione.
#36
Nell'ultimo test di pagina 2.4 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, non capisco perché sia corretta anche
la risposta C. Se la funzione di transizione dello stato non è
invertibile, nell'immagine della parzializzazione ho meno elementi di
quelli di partenza e quindi non ottengo una nuova parzializzazione,
perché la somma del numero di elementi di tutti i blocchi è
inferiore al numero di elementi dell'insieme di partenza.
(Gianni Rondinini)
La risposta C non è corretta; lo è invece il
ragionamento che lei formula. Anche questa domanda appartiene, da tempo,
al gruppo cui accennavo in precedenza.
#37
Nella prima domanda a pagina 1.4 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, la risposta C è senz'altro corretta .
Ma perché non lo è anche la B, cioé: "Possono esistere
sistemi dinamici equivalenti che hanno insiemi degli stati con la stessa
cardinalità che non siano in forma minima?" (Alessandro Rafelli)
Sistemi equivalenti e non in forma minima possono avere o non avere insiemi
degli stati con lo stesso numero di elementi; la risposta B implica invece
che l'eguaglianza tra il numero degli stati di sistemi equivalenti sia
possibile solo se tali sistemi sono in forma minima.
#38
A proposito della seconda domanda a pagina 1.6 del libro
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, non ho ben capito il
concetto di discontinuità della funzione di ingresso.
Inoltre perché una discontinuità di u(.) può generare
discontinuità nella velocità di transizione di stato e non
nel moto? (Alessandro Rafelli)
La discontinuità ordinaria (o jump discontinuity = limite destro
diverso dal limite sinistro) di una funzione di ingresso in un punto si traduce,
se la funzione di velocità di transizione dello stato è continua
rispetto all'ingresso, in una discontinuità della velocità di
variazione dello stato. Tale discontinuità non si riflette in una
discontinuità del moto; questa proprietà può venire
dedotta come corollario del Teorema di esistenza e unicità della
soluzione dell'equazione differenziale dx/dt=f(t,x(t)) riportato sul
testo di teoria adottato.
#39
Con riferimento all'ultima domanda di pag 2.2 del testo Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, consultando l'appendice del libro di testo
Teoria dei Sistemi e del Controllo e guardando la nozione di reticolo,
ho capito che le operazioni di somma e moltiplicazione fra partizioni associano
ad ogni coppia di elementi, rispettivamente, il minimo maggiorante e il
massimo minorante e pertanto ho marcato, intuitivamente, la risposta A che
risulta infatti corretta. Tuttavia non ho ben capito cosa si intende col dire
che una partizione è maggiore di un'altra.
Inoltre non capisco bene l'esattezza della risposta D. (Alessandro Rafelli)
La definizione da lei citata fa riferimento alla relazione di ordine parziale
cui appartengono due partizioni P1 e P2 quando tutti i
blocchi della prima sono contenuti in quelli della seconda; si usa in tal
caso la notazione P1 <= P2.
Tale definizione, unitamente a quelle di somma e prodotto di due partizioni,
consente di stabilire immediatamente la validità della risposta D nella
domanda considerata.
#40
A proposito della prima domanda di pag 3.10 del testo Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, le volevo chiedere una conferma circa
l'inesattezza della risposta A: tale risposta è errata in quanto un
sistema completamente osservabile è tale che per ogni funzione
di ingresso ammissibile, l'insieme degli stati iniziali compatibili contiene
un solo elemento per ogni sequenza di uscita ammissibile, ma ciò
non garantisce che venga risolto il problema per la sequenza di uscita
assegnata. È esatto? (Alessandro Rafelli)
L'insieme di stati iniziali compatibili con una assegnata sequenza di uscita
in un sistema a stati finiti può risultare vuoto indipendentemente
da ogni altra proprietà del sistema (osservabilità, forma minima,
memoria finita, completa controllabilità ecc.). Non è detto
cioé che un sistema a stati finiti sia in grado di generare
qualunque sequenza di uscita. L'osservabilità fa invece riferimento,
come lei correttamente rileva, a sequenze di uscita ammissibili, in quanto
osservate sul sistema, e compatibili con le corrispondenti sequenze di
ingresso.
#41
Con riferimento alla prima domanda di pag. 3.32 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
non ho capito perché la risposta B è errata.
Mi sembrerebbe infatti in contraddizione con quanto si legge, ad esempio,
nel commento dell'ultima domanda di pag. 3.21: "la completa
ricostruibilità è una proprietà che vale solo per
i sistemi a memoria finita, ridotti in forma minima".
Possiamo cioé affermare che:
a) forma minima e memoria finita sono condizioni necessarie e sufficienti
per la completa ricostruibilità;
b) un sistema completamente ricostruibile è sicuramente in forma minima
e a memoria finita;
o solamente che:
c) un sistema completamente ricostruibile è sicuramente a memoria finita.
(Michele Berionni)
È molto semplice costruire un esempio di sistema non in forma minima
(e nemmeno fortemente connesso) che risulti completamente ricostruibile.
Un esempio potrebbe essere il seguente:
f 0 1
A C C
B C C
C C C
Funzione di stato futuro
f 0 1
A 0 1
B 0 1
C 0 0
Funzione di uscita
La risposta B quindi è senz'altro non corretta. Il commento da lei
citato fa poi riferimento alla forma minima come condizione sufficiente
per la completa ricostruibilità dei sistemi a memoria finita.
#42
Nella prima domanda di pag 3.5 del testo Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti
si afferma che la condizione W-(x)=X è necessaria e
sufficiente a determinare la forte connessione.
Non è quindi necessario che sia verificata anche la condizione
W+(x)=X (come si dice a pag. 52 del testo di teoria)?
O è sufficiente che sia verificata una delle due?
Nella spiegazione all'ultima domanda di pag. 1.6 del testo contenente i test
sembra potersi dedurre che W+(x)=X <=> W-(x)=X .
È vero?
La connesione e la forte connessione sono la stessa cosa?
(Michele Berionni)
Le condizioni W+(x)=X per ogni stato e W-(x)=X per
ogni stato sono equivalenti ed ognuna di esse è necesaria e
sufficiente per la forte connessione (o connessione, è la stessa
cosa, come chiaramente indicato sul testo di teoria).
Come abbiamo poi dimostrato anche a lezione, se per un generico stato x
vale la condizione W+(x)=W-(x)=X, valgono anche
le condizioni precedenti ed il sistema è fortemente connesso.
#43
Nel secondo test di pagina 7.13 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti vengono indicate come risposte corrette
A e C. Sulla A non ho dubbi, mentre la C, a mio avviso, è
errata: il fatto che un sistema possa ammettere forma minima di ordine
inferiore è compatibile (secondo me) con l'assenza di una parte non
raggiungibile e non osservabile.
Si consideri per esempio il sistema descritto dalle seguenti matrici A,B,C:
x x 0 0 x
x x 0 0 0
x x x x 0
x x x x 0
x 0 0 0
0 x 0 0
dove le x rappresentano valori arbitrari. Questo sistema ammette forma minima
di ordine 2 ed ha due soli blocchi nella scomposizione di Kalman, i blocchi
1 e 2, e quindi non ammette una parte non raggiungibile e non osservabile.
(Andrea Tassinari)
Se rilegge con maggiore attenzione il testo della domanda, si accorgerà
che si fa riferimento ad una condizione sufficiente (... quando:)
e non necessaria e sufficiente come succederebbe se il testo fosse
del tipo ... solo quando:
#44
Con riferimento al primo test di pagina 5.1 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, non mi è chiaro perché due
sistemi in cascata (non lineari e non stazionari) possono compensare queste
caratteristiche fra di loro. In particolare, dato che la risposta di
un sistema lineare deve essere scomponibile in risposta libera e
forzata, il sistema a valle non può avere questa caratteristica dato
che è non lineare. In altri termini, se scrivo la risposta del
secondo sistema come funzione gamma di x2 (stato del secondo
sistema) e y1 (uscita del primo) dovrebbe ancora risultare non
scomponibile. Dove ho sbagliato il ragionamento? (Alessandro Passerini)
Il ragionamento da lei fatto cade in difetto nel non tener conto che certe
proprietà possono essere o non essere presenti in alcune categorie
di sistemi (in altre parole: non tiene conto del fatto che le risposte
non affermano categoricamente la presenza di alcune caratteristiche ma la
possibilità della loro presenza). Ciò posto le propongo un
esempio elementare di due sistemi non lineari che, collegati in cascata,
danno luogo ad un sistema lineare: si consideri un primo sistema costituito
da un sistema dinamico lineare con uscita scalare con a valle un sistema
algebrico non lineare (es. che dia in uscita il quadrato dell'ingresso)
ed un secondo sistema costituito da un sistema algebrico non lineare (uscita
uguale alla radice quadrata dell'ingresso) con in cascata un sistema dinamico
lineare. Ognuno dei due sottosistemi è non lineare, la loro connessione
in cascata è invece lineare.
#45
Nel testo Teoria dei sistemi: Test commentati e risolti alla pagina 3.14
nel commento alla prima domanda è detto che per ogni sistema la
partizione di (n-2)-indistinguibilità è la partizione di
equivalenza, ma cio non è vero solo per due stati?
(Alberto Nuzzo)
Come abbiamo verificato a lezione, la partizione di k-indistinguibilità
diventa la partizione di equivalenza al più per k=n-2. Ne segue che
la Pk-2 coincide in ogni caso con la partizione di equivalenza
anche se, in genere, la si ottiene con un numero di passi inferiore.
#46
A pagina 3.19 del libro Teoria dei sistemi: Test commentati e risolti
nel commento alla seconda domanda viene detto che essendo il sistema non in
forma minima non è garantita l'esistenza della soluzione ai problemi
dell'incasellamento e della diagnosi. Quindi affinché un sistema
ammetta soluzione ai precedenti problemi deve essere in forma minima?
(Alberto Nuzzo)
Il problema della diagnosi ammette sempre soluzione con un esperimento multiplo
quando l'insieme degli stati iniziali ammissibili non contiene stati
equivalenti; la forma minima è dunque richiesta quando tale insieme
coincide con l'intero insieme degli stati.
Il problema dell'incasellamento ammette invece sempre soluzione con un
esperimento semplice quando il sistema è in forma minima; tale condizione
tuttavia è solo sufficiente ma non necessaria (riveda, a tale riguardo,
il semplice esempio che vi ho proposto a lezione).
#47
Nel secondo test di pagina 3.26 del testo Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, la completa ricostruibilità implica
la forma minima del sistema.
Ciò accade in generale o solo perché nel caso in esame il
sistema è completamente osservabile (e quindi completamente
ricostruibile) a partire da qualunque insieme di stati iniziali ammissibili?
(Francesco Baroncini)
Nel test da lei indicato il sistema in esame è completamente
osservabile quindi, per definizione, in forma minima. In generale
(ma non è a ciò che il test in oggetto fa riferimento)
la completa osservabilità implica la completa ricostruibilità
mentre non vale la proprietà inversa.
#48
Nel commento all'ultimo test di pagina 3.16 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
risulta che
(come in effetti ho appreso dallo studio) ogni sistema ridotto in forma
minima è incasellabile con un esperimento semplice, ma diagnosticabile
solo con un esperimento multiplo.
Ma nel commento al secondo test di pagina 3.32 del medesimo testo risulta che
essendo il sistema in forma minima esso è diagnosticabile
con un esperimento semplice. Io avrei risposto solo A.
(Francesco Baroncini)
Il sistema considerato nel test di pagina 3.32 da lei indicato risulta
diagnosticabile con un esperimento semplice perché esiste una
sequenza di ingresso che genera, per ogni stato iniziale ammissibile, una
sequenza di uscita diversa. Tale proprietà non è, ovviamente,
condivisa da tutti isistemi quindi non è vero (e non implicato in alcun
modo dal test considerato e dal suo commento) che la forma minima di un
sistema implichi la possibilità di effettuarne la diagnosi con un
esperimento semplice.
#49
Se mi è possibile risolvere la diagnosi con un esperimento semplice
predisposto, posso concludere che il sistema in esame è
ridotto sicuramente in forma minima? Mi riferisco all' ultimo test di pagina
3.24 del testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti.
(Francesco Baroncini)
Solo se, come nel test indicato, ciò vale per qualunque insieme
di stati iniziali ammissibili.
#50
Perché nell'Errata Corrige del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti
viene considerata sbagliata la risposta D (da me considerata esatta)
a favore della C nell'ultimo test di pagina 3.25? E se comunque la risposta
"D" è errata, potrei avere anche l'Errata Corrige del commento?
(Francesco Baroncini)
Quanto riportato nell'Errata Corrige è corretto; forse lei
non ha considerato che aggiungendo un simbolo all'inizio di una
sequenza può accadere che due stati iniziali (anche non equivalenti)
confluiscano nello stesso stato facendo perdere la possibilità di
effettuare la diagnosi dello stato iniziale (non di quello
successivo che resta, ovviamente, diagnosticabile). Il discorso sarebbe
stato diverso se il simbolo fosse stato aggiunto alla fine della
sequenza considerata.
#51
In riferimento alla prima domanda di pagina 2.3 del libro
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, riguardante
il prodotto di due partizioni rispettivamente con k1 e
k2 blocchi, vorrei
sapere perché è considerata sbagliata la relazione
kr <= k1 + k2.
Potrebbe farmi un esempio per cui tale relazione non vale ?
(Andrea Cavallaro)
Consideri questo esempio: P1={1,3,5/2,4,6},
P2={1,2/3,4/5,6}; risulta k1=2, k2=3,
k3=6.
#52
Con riferimento all'ultima domanda di pagina 3.16 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
non ho capito perché sia sbagliata la risposta A.
Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
in un sistema a stati finiti a memoria finita k, l'informazione necessaria
per osservare lo stato iniziale va persa dopo k passi. Se k=infinito, tale
informazione va persa dopo infiniti passi, cioè non va mai
persa, quindi è sempre possibile risalire allo stato iniziale.
(Marcello Romani)
L'osservabilità di un sistema non lineare non implica la
completa osservabilità (indipendente dalla sequenza
di ingresso) citata dalla risposta A. Tenga inoltre presente che
i sistemi a memoria finita in forma minima risultano
completamente incasellabili ma, in generale, non completamente
osservabili e che quando una sequenza di ingresso consente di
osservare lo stato iniziale in tali sistemi, non si ha alcuna perdita
di informazione dopo un numero di passi maggiore di k.
#53
Nell'ultima domanda di pagina 3.19 del testo
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
non ho capito come può venire realizzato un sistema a memoria finita
con un numero finito di ritardi unitari. (Marcello Romani)
A lezione abbiamo dimostrato come qualunque sistema a stati
finiti (a memoria finita o meno) possa venire realizzato interconnettendo
opportunamente un sistema algebrico e un ritardo unitario. Può
rivedere tale risultato a pag. 38 del testo adottato (G. Marro, Teoria
dei Sistemi e del Controllo).
#54
Nell'ultima domanda a pagina 3.12 del libro
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
vorrei sapere perché la risposta B è
considerata sbagliata.
Se il sistema è di Moore la P0 ha tanti blocchi quanti
sono i simboli di uscita, ma se il sistema è di Mealy il numero di
blocchi è della P0 è
minore o uguale al prodotto del numero di simboli di ingresso per il numero
dei simboli di uscita.
Analogamente, nella domanda 2 di pagina 3.20, perche è sbagliata la
risposta D? (Andrea Cavallaro)
Un sistema di Mealy con 3 blocchi o 4 blocchi nella P0 può
benissimo avere due soli simboli di uscita; per tale motivo le risposte da
lei indicate sono entrambe sbagliate. Questo non contrasta con l'osservazione
da lei fatta sul numero di blocchi della P0 (che
è corretta) ma con le conclusioni (sbagliate) che ne deduce.
#55
In riferimento alla domanda di pagina 2.3 del libro
Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
non capisco perché la risposta A
é considerata sbagliata.
Se tutti gli autovalori hanno modulo inferiore all'unità, il sistema,
essendo discreto, risulterà asintoticamente stabile, quindi ogni tipo
di moto tende a zero per t tendente all'infinito. La risposta A
non comprende quindi anche la risposta B che analizza specificamente il
caso di moto libero? (Andrea Cavallaro)
I dati da lei forniti non sono corretti (a pagina 2.3 vengono trattati altri
argomenti) e non mi è possibile risalire alla domanda cui lei fa
riferimento.
#56
Prima domanda Pag. 6.5 del libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti:
Se la matrice dinamica di un sistema A(t)=0 , perché FI(t,tau)=I (matrice di transizione)?
Bisogna applicare successione di Peano-Baker? (R.R.)
Calcolando la matrice di transizione con tale successione troverà immediatamente
(al secondo passo) il risultato indicato che, incidentalmente, può venire
dedotto anche osservando che, in assenza di ingresso, la velocità di variazione dello
stato è nulla.
#57
Ultima domanda a Pag. 6.7 del libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti:
mi potrebbe mostrare i passi attraverso i quali si ottiene:
| 1 0 |
FI(t,t0) = | |
| (t*t - t0*t0)/2 1 | ?
(R.R.)
Utilizzando la successione di Peano-Baker si ottiene immediatamente:
FI0(t,t0) = I
| 1 0 |
FI1(t,t0) = | |
| (t*t - t0*t0)/2 1 |
FI2(t,t0) = FI1(t,t0)
.....................
La serie quindi converge al secondo passo al valore riportato sul testo.
#58
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, non
capisco perché siano ritenute giuste le risposte C e D della terzultima domanda
del Capitolo 1. Come enunciato anche nella spiegazione, infatti, non dovrebbero
essere sia W+(x) che W-(x)=X, ossia non devono
essere contemporaneamente uguali all'intero spazio degli stati, mentre dalle risposte
date sembrerebbe che basti che solo uno dei due lo sia. (Thu Dec 16 19:44:36 1999,
Simone Melchiori)
È immediato verificare che se W+(x)=X o W-(x)=X
per ogni stato, risulta possibile la transizione tra stati arbitrari quindi
valgono anche le condizioni W-(x)=X e W+(x)=X per
ogni stato. Attenzione poi che la locuzione "spazio degli stati" può venire usata
solo per i sistemi a stato vettore e non per sistemi dinamici del tutto generali
come quelli considerati nella domanda in oggetto.
#59
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
pagina 1.4, non capisco perché nella terza domanda la risposta D sia corretta.
Se anche la risposta del sistema dinamico non dipende dall'istante iniziale
considerato, poiché un sistema si dice stazionario se non dipendono dal tempo
sia la funzione di transizione che la funzione d'uscita, non potrebbe dipendere
dal tempo la funzione di transizione? (Thu Dec 16 19:40:03 1999, Simone Melchiori)
Se la funzione di transizione dipendesse dal tempo, il moto del sistema, a parità
di stato iniziale e di funzione di ingresso, sarebbe diverso a partire da istanti
iniziali diversi e ciò non può venire compensato da una eventuale dipendenza dal
tempo della funzione di uscita che, ricordiamolo, non descrive alcuna dinamica
ma una relazione algebrica tra stato e uscita.
#60
Nel testo Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti, la
seconda domanda di pagina 1.5 non presenta come risposta la D.
In realtà il sistema è influenzato dall'ingresso, ma non per quanto
riguarda lo stato x, giusto? (Mon Dec 13 09:53:01 1999, Gian Piero Matteo
Montanari)
La domanda non fornisce alcun elemento per potere affermare che il sistema
sia o non sia influenzato dall'ingresso; l'unica informazione deducibile
riguarda lo stato x di equilibrio considerato che certamente non
è influenzato dall'ingresso.
#61
Una partizione è un caso particolare di parzializzazione nel quale tutti i blocchi
sono disgiunti e la loro unione dà l'intero insieme di partenza? Se è così nella prima
domanda a pag 2.1 del libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti una
relazione d'equivalenza, definendo una partizione, non definisce anche un particolare
tipo di parzializzazione? Le risposte corrette non dovrebbero essere allora AB?
(Wed Dec 22 17:54:57 1999, Alessandro Caselli)
Una risposta va considerata corretta solo se applicabile in generale e non sotto
condizioni restrittive; le partizioni poi non vengono considerate come
particolari parzializzazioni dato che, godendo di un numero più elevato di proprietà
rispetto alle parzializzazioni, non si avrebbe alcun vantaggio a considerarle
come sottoinsieme di una classe più vasta ma meno interessante.
#62
Con riferimento alla prima domanda a pag 3.9 del libro Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, nel commento al test viene fatto riferimento al caso
k>1 con k dispari, mentre nel testo della domanda non è riportato alcun
riferimento al fatto che k sia dispari. Se il testo fosse corretto la risposta
esatta sarebbe la C? (Wed Dec 22 17:57:22 1999, Alessandro Caselli)
Testo, commento e risposte della domanda da lei indicata sono rigorosamente
corretti. k può essere sia pari che dispari; considerando la proprietà
descritta nel testo nel caso di k dispari si deduce immediatamente, dato che
la lunghezza massima di percorso è uguale a 2, la necessità della presenza di un
autoanello nel secondo stato del sistema.
#63
Con riferimento alla seconda domanda a pag 3.11 del libro Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, la risposta A non è corretta perché se un sistema è in forma
minima allora è osservabile, mentre non è detto che sia anche completamente osservabile?
(Wed Dec 22 17:58:42 1999, Alessandro Caselli)
L'osservabilità dello stato iniziale in un sistema non lineare non implica che ciò possa
avvenire con ingresso qualsiasi (completa osservabilità). Abbiamo anche visto, nel caso
dei sistemi a stati finiti (a memoria finita o meno), che l'osservazione dello stato
può richiedere un esperimento multiplo quando il numero di stati iniziali ammissibili
è maggiore di due.
#64
Con riferimento alla seconda domanda a pag 3.20 del libro Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti, se il sistema fosse di Moore la risposta D sarebbe corretta?
Un esempio di sistema che non rende vera la risposta D può essere il seguente?
g 0 1
A 0 0
B 0 1
C 1 1
D 1 0
Funzione di uscita
(Wed Dec 22 18:02:59 1999, Alessandro Caselli)
Certamente. La condizione P0=Pm implica che tutte le righe
della tabella della funzione di uscita siano, come nell'esempio che propone, diverse e
questo, se il sistema è di Mealy, può avvenire anche con un numero di simboli di uscita
minore del numero di stati.
#65
Con riferimento alla FAQ #59 dell'area Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti,
anch'io (come Simone Melchiori) pensavo che la risposta D non fosse corretta: se infatti
prendiamo un sistema (per quanto inutile possa sembrare) descritto dalle funzioni
dx(t)/dt=f(x(t),u(t),t)=0 (se lineare, da dx(t)/dt=A(t)x(t)+B(t)u(t)=0),
y(t)=0 (se lineare C(t)=0, D(t)=0) avremo che la risposta, a
parità di stato iniziale e di ingresso, non dipende dall'istante iniziale considerato,
eppure il sistema non risulta stazionario. (Wed Dec 22 18:16:14 1999, Alessandro Caselli)
Avendo definito i sistemi dinamici tramite la funzione di risposta, l'oggetto da lei
descritto non può essere considerato come appartenente a tale categoria. Tenga
presente anche la definizione che abbiamo data per gli attributi misurabili e lo
stato di un sistema dinamico.
#66
Con riferimento al testo Teoria dei sistemi: Test commentati e risolti nella 1°
domanda di pag 1.2 non capisco perché la risposta B sia sbagliata.
(Simone Melchiori, Mon Dec 27 17:47:04 1999)
I modelli polinomiali di ingresso-uscita (con polinomi a coefficienti costanti) non sono in grado
di descrivere la dinamica interna di eventuali parti osservabili ma non raggiungibili di un sistema
a parametri distribuiti; potrebbero svolgere questo ruolo solo considerando coefficienti in grado
di assumere valori locali. Il problema non si pone per la funzione di trasferimento o la risposta
impulsiva a causa delle dimensioni finite ipotizzate per i relativi spazi vettoriali.
#67
Con riferimento al testo Teoria dei sistemi: Test commentati e risolti, a pag 3.20 nella seconda domanda
non capisco perché la risposta D non sia corretta. La partizione P0 contiene 4 blocchi, cioè con
un simbolo di ingresso è possibile distinguere 4 uscite diverse, se il numero di simboli di uscita è minore
di 4, come faccio a riconoscerli con un solo simbolo d'ingresso? (Simone Melchiori, Mon Dec 27 17:57:17)
Il fatto che la partizione di 0-indistinguibilità di un sistema di Mealy abbia quattro blocchi non
significa affatto che con un simbolo di ingresso sia possibile distingure 4 stati diversi ma solo che
esistono quattro righe diverse nella tabella della funzione di uscita. Riguardi attentamente la
definizione di partizione di 0-indistinguibilità e costruisca un piccolo esempio di sistema con due
simboli di ingresso e due simboli di uscita nel quale la P0 abbia 4 blocchi.
#68
Non riesco a capire l'ultimo test a pag. 4.2 del libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti.
Non mi sono chiare le motivazioni per cui tutte e 4 le risposte sono valide.
(Mon Jan 3 22:09:10 2000, Davide Clò)
A) Se indichiamo con m la dimensione di X e con n > m quella dello spazio vettoriale cui
appartiene, in base alle proprietà delle trasformazioni lineari (che abbiamo visto a fondo a lezione quando abbiamo
introdotto la pseudoinversa di una trasformazione lineare) risulta dim im(XXT)=m quindi
XXT ha n-m autovalori nulli; B) Sempre in base alle stesse proprietà, dato che X
trasforma vettori linearmente indipendenti di im XT in vettori linearmente indipendenti di
im X, XTX descrive una trasformazione lineare uno a uno ed è quindi non singolare;
C) e D) derivano immediatamente dalla definizione di ortogonalità tra vettori (vettori ortogonali hanno prodotto
scalare nullo).
#69
Con riferimento alla FAQ #57 dell'area Test commentati e risolti, quando mi son
trovato a risolvere lo stesso esercizio ho ottenuto con la successione di Peano-Baker,
| 1 0 |
FI1(t,t0) = | | = FI2(t,t0) = FI(t,t0)
|(t^2-t0^2)/2 1 |
Ho sbagliato i calcoli? Ad ogni passo non risulta A(t)FI(j-1)(t,t0)=A(t)?
(Tue Jan 4 18:34:49 2000, Alessandro Caselli)
Il suo calcolo è corretto; la sequenza che veniva riportata nella FAQ #57
ometteva un passo di integrazione. Grazie della segnalazione.
#70
Con riferimento al testo Teoria dei sistemi: Test commentati e risolti, nel commento dell'ultima domanda
di pag. 7.58 non ho capito perché se la risposta forzata tende all'infinito allora nella parte osservabile e
raggiungibile è presente un modo non asintoticamente stabile, non potrebbe essere nella parte osservabile ma
non raggiungibile? (Wed Jan 5 18:39:13 2000, Simone Melchiori)
La risposta forzata è determinata dalla sola parte raggiungibile e osservabile del sistema e non è influenzata
in alcun modo, come avviene invece per la risposta, dai modi della parte osservabile e non raggiungibile
del sistema. La sua osservazione sarebbe quindi corretta solo se si parlasse della risposta del sistema e
non, come invece avviene, della sola risposta forzata.
#71
Con riferimento al testo Teoria dei sistemi: Test commentati e risolti, nell'ultima domanda di pag. 7.70,
il ragionamento fatto nel commento si può estendere anche ai sistemi continui vista la costruzione di P?
(Wed Jan 5 18:40:44 2000, Simone Melchiori)
Sì.
#72
Con riferimento alla seconda domanda di pag 7.24 del libro Teoria dei Sistemi: test commentati e risolti,
mi son chiesto se sia possibile che la matrice dinamica
Ad=eAt non abbia tutti gli autovalori distinti,
cioè se non sia corretta la risposta D.
Secondo il mio ragionamento se ho una coppia di autovalori complessa coniugata
(quindi due autovalori distinti) pari a l1=a+j2pigreco e
l2=a+j2pigreco avremo che gli autovalori di Ad
saranno dati da el1T=eaT e
el2T=eaT poiché
ej2Tpigreco=1 se T è intero. Questi due autovalori non sono distinti, mentre lo erano i due
della matrice di partenza, se T è intero: poiché T
lo fissiamo noi e nella domanda è richiesto che il modello discreto sia "sempre" con tutti gli autovalori distinti.
Il campionamento mappa infatti rette verticali del piano di Gauss in circonferenze, dunque i valori si ripeteranno
periodici ogni 2pigreco (il legame
è lo stesso tra i domini di convergenza della trasformata di Laplace e
della Z-trasformata). Sulla base di queste considerazioni penso che la risposta D non sia corretta.
(Thu Jan 6 19:54:46 2000, Alessandro Caselli)
Concordo con lei. La domanda in oggetto viene quindi aggiunta alla lista presente
nella Errata Corrige. Cercando di ricostruire quello che poteva essere il testo
originario (si è ormai persa ogni traccia delle origini delle diverse domande che,
comunque, derivano da quelle predisposte per le prove scritte del corso in epoche
ormai remote) ho aggiunto il termine reali.
#73
Pur avendo letto la FAQ relativa alla seconda domanda a pag 7.28 del libro Teoria dei Sistemi:
test commentati e risolti non riesco a capire perché i modi di un sistema discreto stabile
i.l.s.l. e completamente controllabile siano tutti asintoticamente stabili (c'entra col fatto che
R-(0)=X e dunque tutti gli stati siano controllabili
allo stato zero con qualsiasi ingresso, anche con quello nullo?)
(Thu Jan 6 19:57:37 2000, Alessandro Caselli)
I modi della parte raggiungibile del sistema risultano asintoticamente stabili grazie alla stabilità
i.l.s.l., quelli della parte non raggiungibile saranno pure asintoticamente stabili perché, diversamente,
lo stato di questa parte, che non è influenzato in alcun modo dall'ingresso, non potrebbe tendere a
zero per t tendente all'infinito come richiesto dalla completa controllabilità. Ne segue la
stabilità asintotica del sistema. Dalla sua domanda mi sembra però che lei non intrepreti correttamente
il significato della completa controllabilità che non significa possibilità di controllare allo
stato zero ogni stato iniziale con qualsiasi ingresso ma la possibilità di controllare allo
stato finale zero ogni stato iniziale applicando al sistema un ingresso opportuno.
Il significato di indipendenza dall'ingresso per l'aggettivo completa è invece corretto in
relazione alla osservabilità e alla ricostruibilità.
#74
Con riferimento all'ultimo test di pag 7.14 del libro Teoria dei Sistemi:
test commentati e risolti, perchè la risposta A è sbagliata?
Due blocchi della scomposizione di Kalman potrebbero corrispondere ad un sistema
completamente osservabile ma non la parte completamente raggiungibile, o viceversa.
Infatti così mi sembra sia eposto nel relativo commento. (Tue Jan 25 08:45:38 2000, Matteo Tiraferri)
La risposta A non è corretta perché la presenza di due soli blocchi nella scomposizione
canonica di Kalman non implica affatto che tali blocchi siano proprio quelli relativi
alla parte raggiungibile del sistema (blocchi 1 e 2) o alla parte osservabile (blocchi
2 e 4); potrebbero, ad esempio, essere i blocchi 2 e 3 e in questo caso il sistema non
sarebbe né completamente raggiungibile né completamente osservabile.
#75
Un sistema dinamico asintoticamente stabile è anche semplicemente stabile. Perchè
allora in molti test presenti nel libro Teoria dei Sistemi: Test commentati e risolti
(ad esempio il 2° test a pag. 7.24) ciò non risulta acquisito?
(Tue Feb 1 16:47:11 2000, Alessandro Pedori)
Le condizioni di stabilità asintotica richiedono che vengano soddisfatte anche
quelle relative alla stabilità semplice; con la locuzione sistema semplicemente
stabile si indica tuttavia un sistema che soddisfa le condizioni per la
stabilità semplice ma non quelle relative alla stabilità asintotica. E' dunque
improprio affermare che un sistema asintoticamente stabile è anche semplicemente
stabile: un sistema stabile lo è asintoticamente o semplicemente.
#76
Con riferimento al testo Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, pag. 5.3, primo test: perché non vale (C => A)?
Cioè, l'unione di più sottospazi non è anch'essa un sottospazio?
(Wed Feb 2 15:48:05 2000, Alessandro Linari)
In generale l'unione di due sottospazi non è affatto un sottospazio mentre lo è sempre
la somma; attenzione quindi a non cadere in un errore concettuale così rilevante.
Può facilmente verificare questa proprietà considerando, in R2,
i due sottospazi costituiti dai punti di due rette non coincidenti (ad esempio due
rette ortogonali); la loro unione è costituita dall'insieme dei punti delle due
rette (e questo, evidentemente, non è uno spazio vettoriale) mentre la loro somma
è costituita da tutti i punti di R2 cioè da uno spazio vettoriale.
#77
In riferimento alla prima domanda di pag. 4.11 del libro Teoria dei Sistemi:
Test commentati e risolti, non capisco perché la risposta a) è falsa;
si veda a riguardo la proprietà (E.20) a pag. a.79 del libro di teoria.
(Wed Feb 2 15:47:32 2000, Alessandro Linari)
La proprietà cui lei fa riferimento vale solo per la norma Euclidea di una
matrice e non per qualunque norma come nella domanda da lei citata.
#78
In una risposta ad un test del suo libro ho letto che "la completa controllabilità
non è implicata in generale dalla completa raggiungibilità". Potrebbe spiegarmi perchè
e magari fare un esempio in particolare per il quale valga tale affermazione?
(Sun May 14 17:57:58 2000, Andrea Di Vincenzo)
La frase che lei riporta è stata separata da un contesto essenziale: il riferimento
ai sistemi a tempo discreto. Ciò posto le consiglio
di rivedere gli esempi proposti a lezione tra i quali è presente anche il caso limite
di un sistema completamente controllabile a con sottospazio di raggiungibilità che
contiene il solo vettore zero (matrice dinamica nilpotente di ordine k e matrice di
distribuzione degli ingressi nulla).
| 
